第十三章_经典功率谱估计.ppt

4. 直接法和间接法估计的质量 对 ，在 0 ω (π-B1/2) 的范围内，当 |ω2- ω1| B1 时，  和 是不相关的，这时主瓣的宽度B1=4π /N。对，  ,也可认为在上述频率范围内，当 |ω2- ω1| B1时， 和 是不相关的。不过此时的 B1=4 π /M ，因为MN-1，所以 B1 增大。因此临近频率上的估计值变得较为相关。从这一角度也可以解释 对 平滑的原因。 5. 直接法估计的改进 直接法的估计结果 性能不好。当数据长度N太大时，谱线起伏加剧， N 太小时，谱的分辨率又不好。因此需要改进。这里所说的改进，主要是改进其方差特性。 间接法是对直接法的一种改进，又称为周期图的平滑。 对直接法进行改进的另外一种方法是所谓的平均法，其指导思想是把长度为 N 的数据 xN(n) 分成 L 段，分别求每一段的功率谱，然后加以平均，以达到减小方差的目的。几种主要的改进方法： Bartlett 法 Welch 法 Nuttall 法 5. 直接法估计的改进 由概率论可知，对具有相同均值 μ 和方差 σ2 的独立随机变量X1, X2, … , XL, 新随机变量 X =（X1+ X2+ … + XL）/L 的均值也是 μ，但方差为σ2 /L 。此即 Bartlett 法的指导思想。 将数据分成 L 段，每段的长度都是 M，即 N = LM，第 i 段数据为： 然后分别计算每一段的功率谱： 求平均，得到平均周期图： 的均值为： 式中 D1(ejω) 是矩形窗d1(n) 的频谱， W1(ejω) 是 d1(n) 做自相关所得到的三角窗 w1(n) 的频谱，w1(n)的长度是 2M-1。因为W1(ejω)主瓣的宽度远大于W(ejω) ，所以平均后偏差增大，分辨率下降。 M 的选择主要取决于所需的分辨率。因为 W1(ejω) 的主瓣宽度是4π/M，若 P(ejω) 中有两个相距为 BW 的谱峰，为了要分辨它们，需要 4π/MBW，即 M4π/BW。如果数据长度 N 已确定，根据所需的 M，L 也就自然被确定。如果 N 可以变化，则应根据方差的要求确定 L，然后再确定要记录的数据长度 N。 M 5. 直接法估计的改进 5. 直接法估计的改进 Welch 法是对 Bartlett 法的改进。改进之一是在对 xN(n) 分段时，允许每一段的数据有部分的交叠。例如，若每一段数据重合一半，这时的段数： 式中 M 仍然是每段的长度。 改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗，例如汉宁窗或汉明窗，记之为 d2(n) 。 按Bartlett 法求每一段的功率谱，记之为 ，即 其中 U 是归一化因子，使用它是为了保证所得到的功率谱是渐进无偏估计。 5. 直接法估计的改进 如果 d2(n) 是一矩形窗，则平均后的功率谱为： 其均值为： 记 D2(ejω) 是 d2(n) 的频谱，及 则有： （证明过程略） 5. 直接法估计的改进 Welch 法中各段允许交叠，因而段数增大，这样方差就可以得到更大程度地改善。但是数据的交叠减小了每一段数据的不相关性，使方差的减小不会达到理想的程度。 Welch 法允许分段时交叠，这样就增加了段数，当然也就增加了做 FFT的次数，如果采用的数据窗非矩形窗，这又大大增加了做乘法的次数，因此 Welch 法的计算量较大。 Nuttall 等人提出的算法步骤如下： ① ② 与Bartlett 法相同，即对 xN(n)自然分段（加矩形窗），且不交叠，求得平均后的功率谱 。 ③由 做反变换，得到 对应的自相关函数 ，其最大宽度是 2M-1，M=N/L。 5. 直接法估计的改进 ④此步如同间接法，对 加延迟窗w2(m)，w2(m) 的最大单边宽度为M1，这样得到 ，即： ⑤ 由 做正变换得到对 x(n) 功率谱的估计： 很显然，该方法是把间接法和间接法结合了起来，同时也把平滑和平均也结合了起来。这样就保持了平滑和平均减小方差的优点，同时计算量也小于 Welch 法。 5. 直接法的改进 上述三种改进方法可以归纳为： x(n) 截短 乘矩形窗d0 (n) 不交叠分段 d1 (n)为矩形窗 求平均功率