第1章 绪论(数学建模).ppt

教学内容 第一章 绪论 第二章 初等模型 第三章 微分模型 第四章 差分与离散模型 第五章 规划模型(优化模型) 第六章 随机方法建模 第七章 统计模型 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） r是x的减函数 dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 专家估计 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2557, xm=392.1 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 实际为281.4 (百万) 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。 二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数 1.4 数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用 模 型 准 备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个 比较清晰 的‘问题’ 模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模 型 构 成 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 * * * * * 数学建模和 数学建模竞赛 数学建模竞赛的迅速发展有利于培养 学生创新精神，提高学生综合素质 数学模型姜启源等（清华大学）高等教育出版社第三版 数学建模Frabk R.G(美) 叶其孝等译 机械工业出版社 数学建模方法及其应用 韩中庚 高等教育出版社 数学模型与数学建模 刘来福 北京师范大学出版社 教材及参考书 通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？ 问题 圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆, 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v V和 nv 哪个大? 从包汤圆（饺子）说起 S s s s … V v v v (共n个) 定性分析 V比 nv大多少? 定量分析 什么是数学建模 从包汤圆（饺子）说起 假设 1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一样 模型 应用 若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤馅 R ~大皮 半径 V是 nv是 倍 1.4 r ~小皮半径 两个 k1（和k2）一样 (1),(2),(3) 建模示例 录象机计数器 问 题 经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了 183分30秒，计数器读数从0000变到6152。 在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为 4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系。 思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 问 题 分 析 录象机计数器的工作原理 主动轮 压轮 0000 左轮盘 右轮盘 磁头 计数器 录象带 录象带运动方向 录象带运动 右轮盘半径增大 右轮转速不是常数 录象带运动速度是常数 计数器读数增长变慢 观 察 计数器读数增长越来越慢！ 模 型 假 设 录象带的运动速度是常数 v ； 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作 r ； 时间 t=0 时读数 n=