弹性力学(徐芝纶)第二章习题答案.docVIP

习题—2 1.答：（1）平衡微分方程为： 时，，又，所以，且体力不计，即，所以能满足平衡微分方程。 （2）相容方程为： 方程左右两端均为0，所以满足相容方程。 （3）边界条件为： 其中 ，又，所以满足边界条件。 （4）位移单值条件为：令应力分量表达式中可能留有的待定函数或待定常数通过积分产生的多值项为0。 2.解： 图a 图b 图c (1) 在图b中，我们由剪力平衡方程和弯矩平衡方程得到： ，即 ,即 在图a中，有： 惯距 静距 再由材料力学公式得到： 由上面三式我们可以得到： （1） （2） （3） （4） 体力不计，即： （5） （6） 将（1）—（6）式带入平衡微分方程： 显然满足平衡微分方程。 根据（1）（3）式，得： （7） （8） 将（7）（8）式代入相容方程(体力不计)： 显然也满足相容方程。 (2) 边界条件 在面上： 代入边界条件： 满足边界条件。 在 面上： 代入边界条件： 满足边界条件。 在面上： 由圣维南原理：在面上，作用着平衡力系，所以只在平衡力系得近处产生显著应力，对远处影响忽略不计。 3.解：平衡微分方程组为： 其中. 取该方程组的一组特解： 齐次方程组的通解为 所以微分平衡方程组的解为 即应力分量可以用应力函数表示为 下面推导相应的相容方程： （1）平面应力的情况下的相容方程为： 将微分方程组的解代入上式得： （2）平面应变的情况下的相容方程为： 将微分方程组的解代入上式得： 4.证明：由于任一斜面上的正应力可以表示为： 其中表示斜面外法线方向与x轴方向夹角的余弦。 表示该点的两个主应力。 当切应力最大或最小时，有，所以 有，即在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 F Y X Y X Y Z 11 h