第六章欧氏空间与线形变换第一讲.pdfVIP

第六章 欧氏空间与线形变换 本章重点: 欧氏空间 内积正交变换对称变换共轭变换 一、 重要公式和结论 1. 欧氏空间：内积定义于实线性空间(类似的内积定义于复空间为酉空间)，注意 酉空间的内积为(,) (,) (,k) k (,) (1) 内积： =(a , a a ), (b ,b b )是,在一组标准正交基下的坐标,则和的内积 1 2 n 1 2 n (, ) a b  a b (, ) 0 则和正交. 1 1 n n 2 (2)内积的性质： (,)   0. (, )    ，当且仅当和线性相关时,等号成立. (, ) 设和的夹角为A, 则cos A ,其中欧氏空间V的一组标准正交基 , , 1 2 n   满足( , ) 0, ( , ) 1. i j i i 2. 正交变换 （酉空间对应的为酉变换  ） A A I 一个变换是线性变换则它是正交变换=在一组标准正交基下的矩阵为正交 矩阵=保持内积不变（即(A, A) (,)）=保持长度不变 (A, A) (,) （即 ）=把一组标准正交基变为标准正交基 注意去掉线性的条件,则有一个变换是正交变换=它不改变内积=它不改变距离 且将零向量变为零向量.但只不改变长度不能得出变换是正交变换(不一定是线性) 3. 对称变换 (1) 一个线性变换A是对称变换= 对任意的, V, 有(A,) (,A) =在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. V (2) A是对称变换, 则若V 是A 的不变子空间, V 的正交补也是A 的不变子空间,A 1 1 1 的特征值全为实数,属于不同特征值的特征向量互相正交. V+ x : (x, y) 0, y V  1 1 4. 共轭变换