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第二讲
共轭变换与正规变换
1. 证明：n维酉空间上的每一线性函数都可表为内积.
（对欧氏空间同样成立, 对无限维空间不成立）
证： 设f 是酉空间V 上的线性函数，于是对任意的x ,x V , 及复数k ,k ，
1 2 1 2
有f (k x k x ) k f (x ) k f (x ). 我们证明对任意的x V 存在向量y 使f (x ) f (x ,y ).
1 1 2 2 1 1 2 2
设 是V的一组标准正交基, 令f ( ) C ,1 i n.令y C C ，
1 n i i 1 1 n n
n
则对任意的x V 有x k k .由于f 是线性的,则f (x ) k f ( ) k f ( ) k C .
1 1 n n 1 1 n n i i
i 1
于是(x, y ) k C k C f (x ).
1 1 n n
注意上述结论对无限维空间不成立.
1
例如：设R是实数域上的多项式所组成的向量空间，定义内积( f , g ) 0 f (t )g (t )dt.
设是一个线性函数使对任意的多项式f (t)有( f ) f (0)，特别(th(t)) 0.
1
若(f ) (f ,h )，取f th (t )，则 th (t )h (t )dt 0，矛盾.
0
2. A是n维酉空间(欧氏空间)V的一个线性变换.
证明：存在唯一的线性变换B ，使(Ax,y)=(x,By)对任意x,y ∈V成立.
证： 令f (x ) (Ax ,y )，不难验证f (x )是x 的线性函数.
由上题知存在唯一向量z V，使f ( x) ( Ax, y) ( x, z).令By z，则( A
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