第三章习题部分答案.docVIP

1. 教材P65：3.设随机变量X、Y相互独立，若X服从（0，1）上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度. 解：据题意，X,Y的概率密度分别为 ， 由卷积公式 由，可见 当时，有 当时，有 即 2.教材P65：4.设随机变量（X,Y）的概率密度为： 问X和Y是否相互独立？（2）求Z=X+Y的概率密度. 解：（1） 由对称性可知 因为，所以X和Y不独立 （2）用卷积公式 当即时， 所以，当时 当时 于是，Z=X+Y的概率密度为 3. 教材P65：5.设随机变量（X,Y）的概率密度为： 试确定常数b； 求边缘概率密度 求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解：（1） 从而 （2） （3）因为，所以X、Y相互独立 由于等价于且，因此, 对于任意的实数z， 即 其中， 因此 教材P65：6． 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别是 求：（1）常数A； （2）随机变量Z=2X+Y的概率密度函数. 解：（1） （2）因为X与Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为 于是 当 当 故利用分布函数法求得的概率密度为 教材：P65:7 设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为 则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为 。 解： 则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为 Z 0 1 P 1/4 3/4 练习册：P51二、1.设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为 则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为 。 解： 则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为 Z 0 1 P 1/4 3/4 练习册：P51三、设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则 （A） （B） （C） （D） 答案：B ， 练习册：P52五、2.设随机变量（X，Y）的分布密度为 试求 Z=X-Y的分布密度。 解：当 当时 当时， 故 练习册：P53六、设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别是 求：（1）常数A； （2）随机变量Z=2X+Y的概率密度函数. 解：（1） （2）因为X与Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为 于是 当 当 故利用分布函数法求得的概率密度为 练习册：P55一、2.设平面区域D由曲线，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为 。 解：设区域D的面积为 其中 求关于X的边缘概率密度 当 当 因而得 练习册：P56四、已知随机变量X1和X2的概率分布为: X1 —1 0 1 X2 0 1 pi 1/4 1/2 1/4 pi 1/2 1/2 且P{ X1 X2=0}=1. (1)求X1和X2的联合分布率； （2）问X1和X2是否独立？ 解：（1）P{ X1 X2=0}=1等价于 可知， 再由得 ，从而，所以X1和X2的联合分布率 X2 X1 -1 0 1 P{ X2=j} 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 P{ X1=i} 1/4 1/2 1/4 1 （2）由于所以X1和X2不独立 练习册：P56六、一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为： 问X和Y是否独立？ 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。 解：根据定义，X的分布函数和Y的分布函数分别为 因为有， 根据独立性定义，随机变量X和Y独立， 于是 练习册：P60一、1. 设二维连续型随机向量的概率密度为 ， 求：（1）常数的值；（2）随机向量在区域内取值的概率. 解：（1） （2） 练习册：P61二、2. 设随机变量 且满足 （A）0 （B） （C） （D）1 [A ] 解：设随机变量的联合分布为 -1 0 1 -1 0 1 从而 类似有 进一步可知 因此有 练习册：P62六、设随机变量与相互独立，其中的概率分布为，而的概率密度为，求随机变量的概率密度. 解：先求的分布函数 故 随机变量的概率密度 练习册;P63一、1.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则= 。 解： 练习册：P63一、2.设X和Y为两个随机变量，且 则 。 解： 练习册：P63一、5.设随机变量X与Y独立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q，0p1。定义随机变量Z为 问当p取何值时，X与Z相互独立？ 解： Z