第三章 傅立叶变换1.pptVIP

* 第三章 傅立叶变换 ━━ 频域分析 1822年，法国数学家傅立叶提出了 ：“一个周期函数可以展开成无穷多个不同频率的正弦函数的叠加” 。 §3. 2 周期信号的傅立叶级数分析 频率成份不同 光的颜色不同； 人说话的音调不同。 一. 三角函数形式的傅立叶级数: 若 f(t)是以 T1 为周期的信号, 则其傅立叶级数展开式为: 1. 一般形式: 其中系数a0、an及bn的确定如下： 常取 其中，n = 1, 2, … 此外，a0、an及bn又分别称为“ 直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度”。 2. Dirichlet 条件： 当周期信号 f(t) 满足以下条件时，才能进行傅立叶级数展开 (1) 在一个周期内, f(t) 的间断点数目有限； (2) 在一个周期内, f(t) 的极值数目有限； (3) 在一个周期内, f(t) 绝对可积， 即 3. 简化形式: (1) 余弦形式 关系: (2) 正弦形式 关系: 另外, 4. 建立 “频谱” 的概念： ① 基 频━ 频率 f1=1/T1 , 基 波━ 频率为基频的分量，称为 “基波” 。 ② 谐 波━ 频率 2f1 , 3f1 ，… ， nf1 , … , 的分量 ，分别称为“二次谐波、三次谐波……”。 ③ 幅度谱━是指将幅度值(如cn)作为函数、频率ω作为自变量，绘制的关系曲线。 ④ 相位谱━是指将相位值(如 )作为函数、频率ω作为自变量，绘制的关系曲线。 5. 周期信号频谱的特点： “谱线” 的概念━在幅度谱中, 每条线的高度代表该频率分量的幅度大小, 称为谱线. cn c0 c3 c1 c2 0 ω1 3ω1 … nω1 ω 幅度谱 0 ω1 3ω1 … nω1 ω φn π 相位谱 特点 ━ 周期信号的频谱是离散谱 ! 其频谱只会出现在 ω=0、ω1、2ω1…等离散的频率位置上。 例：某周期信号如图所示，试求其傅立叶级数，及幅度谱和相位谱。 … … f(t) E -T1 0 T1 t 解： 或者是： ； 最后，求其幅度谱和相位谱： 0 ω1 3ω1 … nω1 ω φn π 相位谱 cn Eτ/T1 0 ω1 ω 幅度谱 = 0, π, 二、指数形式的傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式 已知 1、根据欧拉公式得： 把上式代入已知中得： 令 为指数形式傅里叶级数的系数，简称为 为复数形式 2、重要关系(Fn与其他系数的关系)　　见书92页 3、指数形式表示的信号频谱　见图93页 4、帕赛瓦尔定理－能量守恒定理，平均功率 　　利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性 周期信号的平均功率是三角形式的傅里叶级数，或者是指数形式的傅里叶级数， 两边平方，并在一个周期内进行积分 上式表明：周期信号的平均功率＝傅里叶级数展开直流成分，基波及各谐波分量 有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒称帕赛瓦定理（或方程） 三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 　　f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，使表达式变的简单地。 波形的对称性有两类：1、对整个周期对称有偶函数和奇函数 　　　　　　　　　　2、对半周期对称有奇谐函数 对称条件： (1)、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数 上式关系得，1、偶函数的Fn为实数。 　　　　　　2、偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项为0，只可能含有直流项 　　　　　　　　和余弦项。 (2)、奇函数：若信号波形相对于原点是对称的，即满足f(t)=－f(-t), 　　此时f(t)是偶函数 上式关系得，1、只有正弦分量。 　　　　　　2、奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项。 (3)、奇谐函数：若信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足f(t)=－f(t±T1/2),这样函数为奇谐函数或称为半