热学第二章习题课.docVIP

第二章 分子动理论的平衡态理论 ◆ 本章学习目标 理解麦克斯韦速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率，方均根速率，最概然速率。理解等温大气压强公式、等温大气标高、能量均分定理、理想气体内能 ◆ 本章教学内容 1、气体分子的速率分布律 2、麦克斯韦速度分布律、相对最概然速率的速度分量分布于速率分布 3、重力场中微粒按高度的分布，等温大气压强公式、等温大气标高 4、能量按自由度均分定理，理想气体内能 ◆ 本章重点 麦克斯韦速率分布律和速度分布律、三种速率分布、能量均分定理、理想气体内能 ? 一、气体分子的速率分布律 在平衡态下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大，速率可以看作在0～之间连续分布的。此时分子的速率分布函数应该这样来定义：假设系统的总分子数为，在速率v～v+dv之间的分子数为，则我们用来表示在速率v～v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率；或者对于任意一个分子来说，这是它的速率处于v～v+dv之间的概率。由于和速率区间dv的大小成正比（即dv越大则dw越大），通常用来反映气体分子的速率分布，它与所取区间dv的大小无关而仅与速率v有关。我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数 　　?? 速率分布函数的物理意义是：在速率v附近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率；或者说，对于任意一个分子而言，它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率，故也称为分子速率分布的概率密度。对于任意一个分子来说，它的速率是多大是偶然的，但却具有一定的概率分布。只要给出了速率分布函数，整个分子的速率分布就完全确定了。由速率分布函数可求出： v～v+dv区间的分子数 　　 ? v～v+dv区间的分子数在总数中占的比率，即一个分子的速率在v～v+dv区间的概率 　　 在分布函数的曲线上，它表示曲线下一个微元矩形的面积。 ～区间的分子数可以用积分表示为 　　 ～区间的分子数在总数中占的比例，即一个分子的速率在～区间的概率 　　 在分布曲线上，它表示在～区间曲线下的面积。令，则即为全部分子数N，故有 　　 ???????? 此式称为速率分布函数的归一化条件，表示所有分子与分子总数的比率为1，即一个分子速率在0～区间的概率为1。在分布曲线上，它表示在~区间曲线下的面积为1。 （2）统计平均速率 下面讨论如何用统计分布函数来求统计平均值。 一般来说，假定某量有个测量值，测量结果为的有个，为的有个，…为的有个，按照求平均值的方法，该量测量的平均值应该是 　　 其中这种形式意味着只要把各种测量值全部加起来，再除了测量总次数，就可得；而这种形式意味着，每一种测量值先乘以它出现的概率，然后再把每一种测量值与它对应的概率的乘积加起来得到，虽然两种方法计算的结果肯定是一样的，但作为方法本身来说，还是有区别的。 同理，该量测量的方均值（先平方后再求平均值）应该是 　　????? 实际上只要把上面的式中的用来代替就达到上式。 对于总分子数很大的平衡态气体，由于分子速率在之间的分子数有个，这个分子的速率严格来说肯定是不相同的，但差别极其微小，因此可以近似认为这个分子速率都是等于的。所以这个分子的速率加起来等于，全部气体分子的速率加起来等于，故分子的平均速率 式中这种形式，意味着把每个分子的速率全部加起来，然后再除以总分子数就是；而这种形式则意味着先计算速率与速率在区间的概率的乘积，然后再全部将它们相加得出。 同理，方均速率只要将上式中的用代替即可很方便地写出 　　?? 若进一步要求方均根速率只要将开方即可： 　　?????? 从上述三式可以清楚地看出，为了计算，或，实际上只要给定速率分布函数就可以了，可见速率分布函数的重要性。 还有一个常用的速率，也是与速率分布函数直接有关的，这就是最概然速率。它的定义是，速率分布函数（）曲线峰值所对应的速率。其物理意义是，在附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于附近单位速率区间内的概率最大。 根据求极值的方法，令 　　?????????????????????? ? 即可求出。最概然速率、平均速率和方均根速率统称为速率分布的特征速率。 【例1】一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求： （1）速率分布函数； （2）速率在0～v0/2范围内的粒子数； （3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。 【解】 （1）按上图所示的速率分布曲线形状，应有 　　 k为0～v0之间直线段的斜率。由速率分布函数的归一化条件，可得 　　 　　 故速率分布函数为 　　 （2）速率在范围内的分子数为： 　 （3）由和，可得粒子的平均速率 　　 方均速率 　　 故方均根速率 　　 最概然速率是具有最大值，即速率分布曲