2014世纪金榜第二章 第十二节.pptVIP

考向 3 分段函数模型 【典例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式. (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时). 【思路点拨】(1)当20≤x≤200时，运用待定系数法求v(x)的表达式，进而确定当0≤x≤200时，分段函数v(x). (2)根据(1)求出f(x)，再根据函数的单调性与基本不等式求最值. 【规范解答】(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b. 由已知得 解得 故函数v(x)的表达式为 (2)依题意并由(1)可得 当0≤x≤20时,f(x)为增函数，故当x=20时,其最大值为 60×20=1 200; 当20＜x≤200时,f(x)= ≤ 当且仅当x=200-x，即x=100时,等号成立. 所以当x=100时,f(x)在区间(20,200］上取得最大值. 综上,当x=100时,f(x)在区间［0,200］上取得最大值f(x)max= 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值 约为3 333辆/小时. 【拓展提升】应用分段函数模型应注意的问题 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解. (2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏. 【变式训练】据气象中心观察和预测:发生于 M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速 度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示, 过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km). (1)当t=4时,求s的值. (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来. (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴 是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭 到N城?如果不会,请说明理由. 【解析】(1)由图象可知:当t=4时,v=3×4=12, ∴s= ×4×12=24(km). (2)当0≤t≤10时, 当10＜t≤20时，s= ×10 ×30+30(t-10)=30t-150; 当20＜t≤35时，s= ×10×30+10×30+(t-20)×30- ×(t- 20)×2(t-20)=-t2+70t-550. 综上，可知 (3)沙尘暴会侵袭到N城. ∵t∈［0,10］时,smax= t∈(10,20］时，smax=30×20-150=450＜650, ∴当t∈(20,35］时，令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40.∵20＜t≤35,∴t=30. ∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城. 【满分指导】函数建模在实际问题中的应用 【典例】(14分)(2012·江苏高考)如图， 建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面 上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在函数y=kx- (1+k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的 射程是指炮弹落地点的横坐标. 第十二节 函数模型及其应用 1.三种函数模型性质比较 随n值变化 而不同 随x值增大， 图象与x轴 接近_____ 随x值增大，图象与__轴接近平行 图象的变化 相对平稳 越来越___ 越来越___ 增长速度 单调___函数 单调___函数 单调___函数 在(0，+∞) 上的单调性 y=xn(n0) y=logax(a1) y=ax(a1) 增 增 增 快 慢 y 平行 2.常见的几种函数模型 (1)直线模型:一次函数模型_____________,图象增长特点是直 线式上升(x的系数k＞0),通过图象可以直观地认识它,特例是 正比例函数模型y=kx(k＞0). (2)反比例函数模型:_____(k＞0)型,增长特点是y随x的增大而 减小. (3)指数函数模型:y=a·bx+c(b＞0,b≠1,a≠0)，其增长特点 是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b＞1,a ＞0)，常形象地称为指数爆炸. y