3.由巳知分布的随机抽样 蒙特卡罗课件.ppt

解释： 在区域，0≤x ≤1， 0≤y ≤M内， 产生均匀的相互独立的随机点 （ξ1,Mξ2）,（ξ2,Mξ3）,… （ξ2N-1,Mξ2N） 丢弃在f(x)之上的所有点，保留f(x)之下的所有点，从而形成在区域 0≤x ≤1， 0≤y ≤ f(x) 内均匀的相互独立的随机点 （X1,Y1）, （X2,Y2）,…（XN,YN）， 由此产生的X1、X2、….. XN 便是由已知总体分布f(x)中产生的简单子样。 由此可以看出，原来由 f (x) 抽样，现改为由另一个分布密度函数 f *(x) 抽样，并附带一个权重纠偏因子 这种方法称为偏倚抽样方法。 从 f (x) 中抽取的 Xf ，满足 而对于偏倚抽样，有 一般情况下，Xf 是具有分布 f (x) 总体的简单子样的个体，只代表一个。Xf* 是具有分布 f *(x) 总体的简单子样的个体，但不代表一个，而是代表 W(Xf*) 个，这时Xf*是带权W(Xf*)服从分布 f (x) 。 在实际问题中，分布密度函数的形式有时是非常复杂的，有些甚至不能用解析形式给出，只能用数据或曲线形式给出。对于这样的分布，需要用近似分布密度函数代替原来的分布密度函数，用近似分布密度函数的抽样代替原分布密度函数的抽样，这种方法称为近似抽样方法。 近似抽样方法 令 利用阶梯函数 fa(x) 作为原分布密度函数的近似，即 fa(x) ≈ f (x)，有 每一子区间内原分布和 近似分布积分概率相同， 如图： 阶梯近似 显然， fa(x)的累积分布函数在分点xi处的值为： 近似分布fa(x)是每个子区间中的均匀分布，因而其随机数ξi可这样选取，找到ri，满足 的分点xi-1和 xi ， ξi可表示为 对于梯形近似，有 其中，c 为归一因子， fi ＝ f (xi) ，x0，x1，… ，xn为任意分点。根据对称抽样方法，梯形近似抽样方法为： 梯形近似 ＞ ≤ 除了上述这种近似外，近似抽样方法还包括对直接抽样方法中分布函数反函数的近似处理，以及用具有近似分布的随机变量代替原分布的随机变量。 例23. 正态分布的近似抽样 我们知道，随机数ξ的期望值为 1/2，方差为 1/12，则随机变量 渐近正态分布，因此，当 n 足够大时便可用 Xn 作为正态分布的近似抽样。特别是 n＝12 时，有 对于任意分布密度函数 f (x) ，设 fa(x) 是 f (x) 的一个近似分布密度函数，它的特点是抽样简单，运算量小。令 则分布密度函数 f(x) 可以表示为乘加分布形式： 其中 H1(x) 为非负函数，f1(x) 为一分布密度函数。 对 f(x) 而言，fa(x) 是它的近似分布密度函数，而H1(x) f1(x)正好是这种近似的修正。 近似-修正抽样方法 近似-修正抽样方法如下： 抽样效率 由上述近似-修正抽样方法可以看出，如果近似分布密度函数 fa(x) 选得好，m 接近 1，这时有很大可能直接从 fa(x) 中抽取 Xfa ，而只有很少的情况需要计算与f (x) 有关的函数 H1(Xf1)。在乘抽样方法中，每一次都要计算 H(Xfa)＝f (Xfa)／fa(Xfa)。因此，当 f (x) 比较复杂时，近似-修正抽样方法有很大好处。 ≤ ≤ ＞ ＞ 例24. 裂变中子谱分布的近似-修正抽样 裂变中子谱分布的一般形式为： 其中A，B，C，Emin，Emax 均为与元素有关的量。 对于铀-235， A=0.965，B=2.29，C=0.453，Emin=0，Emax=∞。 若采用乘减抽样方法，其抽样效率约为0.5。 令 相应的 则 从 fa(x) 的抽样为 从 f1(x) 的抽样为 参数λ的确定，使1－Aλ＞0，且使 H1(E) 的上界M1 最小。裂变中子谱的近似修正抽样方法为 对于铀-235，m≈0.8746，M1≈0.2678，λ≈0.5543，抽样效率 E≈0.9333。而且近似修正抽样方法有0.8746的概率直接用近似分布抽样，只计算一次对数。因此，较之乘减抽样方法大大节省了计算时间，提高了抽样效率。 ≤ ≤ ＞ ＞ 为方便起见，这里仅讨论二维分布的情况，对于更高维数的分布，可用类似的方法处理。 对于任意二维分布密度函数，总可以用其边缘分布密度