一个非齐次核且在全平面积分的Hilbert型不等式.pdfVIP

第 31卷 第 3期 J’‘东 第 帅 范 学 院 学 报 Vo1．3l NO．3 2011年 6月 JournalofGuangdongUniversityofEducation Jun．20¨ 一 个非齐次核且在全平面积分的 Hilbert型不等式 谢子填 (肇庆学院数学系，广东 肇庆 526061) 摘要 ：应用权函数的方法 ，给出了一个新的非齐次核并在全平面积分的Hilbert型不等式及其 等价形式，同时给 出一些应用． 关键词：Hilbert型积分不等式；权函数 ；HOlder不等式 中图分类号：O178 文献标识码 ：A 文章编号：1007—8754(2011)03—0008—05 引言 设P1，÷口4-0一1，-厂()，g()≥0，且0JJ0尸(z)dxCXD及0JI0g(x)dx。。，则有如下 Hardy—Hilbert积分不等式口]： 』』=。 dzdy南 {』 cdz}{j。gczd)“， c 这里常数因子． _【 为最佳值． lIl＼7【／ ／ 近年来包括积分型和级数型的Hilbert型不等式 ，人们陆续作 了推广 ，这些基本上是负数齐次核的， 且积分区域在第一象限． 2008年，杨必成教授给出一个全平面的一 齐次Hilbert型积分不等式 ： 如 1，1十 1— 1，r 1，。 1L+L ：1 ，． ， )，g(-z)≥。且。』 r00 ∞，0 lz 卜g(z)dx 。。，则有 J 0 』_2f2 dzd EB(，÷+B(1--A,+B(1--,l,]{』lzp(1)jr)--I广cz}古{』} zar}古．cz 我们将用权函数方法，给出了一个新的非齐次核并在全平面积分的Hilbert型不等式及其等价形式，同时证 明常数因子是最佳的． 收稿 日期 ：2010—12-14 作者简介 ：谢子填，男，广东肇庆人 ，肇庆学院数学系教授 2011年第 3期 谢子填 ：一个非齐次核且在全平面积分的Hilbert型不等式 ·9 · 以下我们假设 ，1 a 0，P 1，1／+ 1／q一 1，r∈ (O，1)，00 7c． 引理 引理1 如果 一 丽 ， 一 丽 ，则 kl===7c口一r。csc(r~)CSC0sin(r )，k2— 7[a—r‘CSC(Y~)CSC0sin(r~一 r )． (3) 及 愚：一 F 一是+志z一7口【一1cscsecc。s(等一)． (4) 证明 设 ，2‘)一 25 L十Fazc0S而十a’一L二—1)之‘一，，则 志一J。干 一 ERes(厂)+Res(，，zz)](0 又记 21一一ae，z2=一ae_1，则 是怠 一一 L[-( 2aisinO)(-- aei~)r+十 。(2aisinO)(-- ae-i~)；j一一 兀兀口口一r～_1ccsscc csc(rn)ssmin(rO)，’