带有n个洞的圆盘上扭转微分同胚的不动点数.pdfVIP

维普资讯 大 庆 石 油 学 院 学 报 第 29卷 第 3期 2005年 6月 JOURNAlOFI)AQINGPETROlEUM INSTITUTE Vo1．29 No．3 Jun． 2005 带有 ，z个洞的圆盘上扭转微分同胚的不动点数 杜兴华 ，寻 杨 (1．大庆石油学院 数学系，黑龙江 大庆 163318； 2．济宁师专 数学系，山东 济宁 272000) 摘 要：利用球面上光滑向量场的奇点指标定理 (Poincar6 Hopf定理)，给出了带有 ”个洞的圆盘上扭转微分同胚 的不动点数估计及辛同胚情形不动点个数的下界限制．对于辛微分同胚给出了Poincar6几何定理的一个直观证明． 关 键 词：扭转微分同胚 ；不动点；辛几何 中图分类号：O192；O189．1 文献标识码 ：A 文章编号 ：1000一l89l(2005)03—0094—02 二维圆环上保面积扭转映射至少有 2个不动点l】]，这就是著名的Poincar6几何定理．文献[2]中证明 了一些特殊的情形，一般情形证明由Birkhoffl3给出．文献 [1]给出了高维情形的辛不动点个数的猜想， 即著名的Arnold猜想．经若干数学家的努力，该猜想终获解决 ．二维情形与高维情形有显著不同．二 维拓扑更容易处理，也更容易凭直觉把握．这类似于二维 ]3rouwer不动点定理 ，能够用更直接的办法证 明l5]．文献[5]中的方法可以用来给出Poincar6几何定理的一个直观证明；但对于带 (1)个洞的圆盘 情形 ，这一方法并不适合．因此用其它方法预先估计辛同胚不动点的个数成为必要．笔者考虑了带 个 洞的圆盘上扭转微分同胚的不动点，利用球面上光滑向量场的Poincar6--Hopf指标定理 ，给出了不动点 个数的下界估计和辛同胚的下界的限制．同时，对于可微辛同胚 的情形 ，给出了Poincar6几何定理的一个 直观证 明． 1 问题及证 明 设 D为带有 个洞的圆盘 ，B，，…，B 为 个洞的边界圆周 ，B+，为 D的外边界圆周．映射 F：D—D 为扭转微分同胚 ，即边界上为扭转的．利用粘接技术将 D转化成紧致 曲面．将所有边界用单连通的圆盘 补上 ，做成一个二维球面． 设 (，)为 D上的坐标 ，F写成分量形式F(，)一(F。(，)，F (，))．在 D上作向量场 一( ， V )，使得 。(，)一F (，)一 ，V (，)一F (，)一Y．因此 F的不动点即为 的奇点．设 B 处补 上的圆盘为D ，中心为0．由于 F限制在B 上，是旋转；所以可将 F扩张到整个D 上为绕0 的旋转． 对向量场 来说 ，在 B 内只有惟一的奇点0 ，其指标根据 F的旋转方向而定 ，顺时针旋转指数为一 1，逆时针旋转指数为+1．对每个 B 施行上述手续 ，则 扩展成整个球面上的向量场 ，在 0 处均为孤立 奇点，带有相应的指数+1或一1． 定理 1 F：D—D为扭转微分同胚，B，，…，B+。为D 的内外边界圆周 ，，+ 。一”+1，，和 分别为 逆时针和顺时针旋转的边界数．若满足下列条件之一，即 +3—2nO或 l，一 l≠2或 为偶数，则 F 至少有 1个不动点． 证明 (1)不妨设B “，B、为逆时针旋转的边界，其它的边界按顺时针旋转 ，由前面的分析知 ()，， … ，0 的指标为+1，而0 +，，…，0 。的指标为一1，又 s。的Euler示性数为 (S)一2；因此由Poincar6 一 Hopf指标定理 有 ∑ Ind(奇点)一 (Sz)，，2。一 +∑Ind(剩余奇点)一2，其中，Ind为相应奇 收稿 日期 ：2004一O7—07；审稿人：张长海 ；编辑 ：关开澄 作者简介：杜兴华 (1969～)，女 ，讲师，主要从事分形几何及数学物理方面的研究 · 94 · 维普资讯 第 3期 杜兴华等 ：带有 个洞的圆盘上扭转微分同胚的不动点数 点的指标．又由”·+z一”+1，有∑In