赛题中“双层最值”求法初探.pdfVIP

维普资讯 《数学教学通讯}2004年7月(上半月)(总第200期) 重庆 ·43· 赛 题 中 “双 层 最 值 求 法 初 探 (重庆一中 400030) 石世银 双“层最值”是指求函数的最值的最大值 z}+ (z1+ 2)。+ (z2+z3)。+…+(一1 (或最小值)问题，又称 “复合最值”．近几年在 + )。+叠一2 ① 国内、外数学竞赛中常有 “双层最值”出现，本 由于：I以I=Iz1一(z1+z2)+(z2+z3) 文就几个赛题，谈一谈解题的构思． +…+(一1) (xl一1+z1)I ② 且 IzlI— I 一 ( + 一1)+… 1 转化法 +(一1)一 (xl+1+z1)I ⑧ 根据条件将问题转化为我们熟知的结论或 根据柯西不等式和②、⑧有 常见的函数． z：≤五·[+ +z。)。+…+(xl一+ 例1 试求u(p，g)一max{I1+P+qI， z1)。] I4+2夕+qI，I9+3p+qI)的最小值． z：≤ (，z一五+1)· ：+ ( + 一)。+ 解：设厂 )一z。+px+q，则 … + (xl+1+ )。] I厂(1)I—I1+P+qI，I厂(2)I=I4+2夕 代入① 中，则有 +qI，I厂(3)I—I9+3p+qI 由厂(1)+厂(3)一2f(2)一2 警五+。(，z一五而+1)≤2=Ixtl≤ 则 I厂(1)I+2I厂(2)I+I厂(3)I≥2① √ (五一12，…，，z) ③ 所以max{I，(1)I，I，(2)I，I厂(3)I)≥ 由柯西不等式知，③取 “一”号的条件是 当厂(1)=厂(3)一一厂(2)一+ 时，取 fz1=一 1+z2)=z2+z3=…=(一1)一(一1+ ) “ = ”号 置【I+置I+1=一(zt+l++2)=…=(一1)一z— f=(一1)卜i·z1(1≤i≤) 即当P一一4，q一专时，(夕，g)一专，所 1 (_1) · ·五(… ≤ ) 以u(p，g)皿in=_砉_ 即存在满足条件的一组实数z，z。，…，， 2 先求内层最值，求再外层最值 使⑧式的等号成立，故对给定的五 ____ _____ ____ _____ ____ _____ ____ _____ ____ _____ ____ ___●— — 这类问题往往其函数的内层最值是某参数 … 一 √ 一12， 的函数，先求