微分方程数值计算方法.pdfVIP

第一章微分方程的常用数值计算方法 物理、化学以及材料科学中许多定律、原理都是通过微分 方程形式来描述的。在计算材料学领域，建立并求解微分方程 是基本的工作内容之一。 除个别特殊形式的微分方程外，绝大多数的微分方式无法 获得解析解，而且有些研究对象也不需要获得解析解。因此， 采用数值方法求解微分方程成为处理问题的一种非常重要的计 算手段。 1 1 以一维非稳态导热方程为例 2 T  T a 2 （0 x L, t 0) t x 它反映了所研究对象（材料）空间每点在t 时刻的温度关 系。其解析解的形式为：  2sin   x   2 n  F T T (T T ) cos  e n 0 L   L  n 0    sin  cos  L n 1 n  n n   如何用计算机来计算这一关系（温度场）？常用的方法 是有限差分法和有限单元法。 有限差分方法是将求解域划分为差分网格，用有限个网格 节点代替连续的求解域，以级数展开等方法，把目标方程中的 导数用网格节点上的函数值的差商（差分）代替进行离散，从 而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组，是一种直接 将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表 达简单。 差分的含义与误差 微商的定义：若f(x)为一阶连续函数，则其微商 (  )  ( )  ( ) df f x x f x f x f (x) lim lim dx x 0 x x 0 x 对函数对x做泰勒级数展开： df x2 d 2 f x3 d 3 f x4 d 4 f 5 f (x x ) f (x ) x  2  3  4 O (x ) dx 2! dx 3! dx 4! dx 则一阶差分可以有如下三种形式 f (x x ) f (x ) f (x x ) （1）向前差分 x x x x x df f (x x)  f (x)  O(x)