有限制条件的排列、组合问题等.docVIP

有限制条件的排列问题（教学设计） 导语：在排列、组合问题中，常常会对问题中的某些元素（或某些位置）提出特殊要求。例如，由0至9这10个数组成一个能被25整除的无重复数字的五位数，25、50、75必须为五位数的末两位数。这样，末两位就成了特殊的位置，这个位置上的数不是任何数都能选的，它们必须是25、50、75中的一个，或者乙可以说2、5、7、0这些成了特殊的元素，它们必须经过适当的组合放在末两位上。在上述问题中，万位也是一个特殊的位置，在这个位置上是不能放0的。在求解排列、组合问题时，特殊元素（或特殊位置）因具有某种特殊性，应予以优先考虑，保证它们的特殊性能够得到满足，这是解决较为复杂问题的关键。本节课对有限制条件的排列问题的解法进行探讨。 问题1：已知0，1，2，3，4，5六个数，这6个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 设计意图：从这道简单的有限制条件（“0”不能排在百位上）的排列问题入手，在引导学生分析解决这个问题的过程中，重在“提炼”解决有限制条件的排列问题的三种最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接法。 变式：（1）从这6个数中选出不重复的3个数作为函数中、、的值，问可以组成多少个不同的二次函数？ （2）从这6个数中选出不重复的3个数作为圆的方程中、、的值，问可以组成多少个不同的圆的方程？ 第（1）小题解后接着问；可以组成多少个关于轴对称的二次函数？可以组成多少个不同的函数（把“二次函数”拓展为“函数”）？第（2）小题解后接着问：可以组成多少个圆心在轴上的圆方程？ 设计意图：给出这两道小题的目的在于培养学生对知识的迁移能力，通过解题的反思，让学生“领悟”数学问题的背景可以千变万化，而其中运用的数学方法思想却往往是相通的。学习数学重在掌握这种具有普遍意义和迁移价值的、能反映数学本质的“策略性”知识。注重问题间的类比，使解题后反思成为自觉的行动，这样才能举一反三、由例及类、解一题通一片的目的。 拓展思考：在用这6个数组成的没有重复数字的三位数中 奇数有多少个？ 能被5整除的数有多少个？ 大于235的数有多少个？ 如果将所有这样的三位数从小到大排列，你能找出第21项的那个数吗？ 设计意图：“用同一个问题做不同的事情”，在提高题目利用率的同时，也能帮助学生真正理解和灵活应用知识。 问题2：六个人按要求排成一排，分别有多少种不同的排法？ 甲排在左端； 甲不排在两端； 甲不排在左端，乙不排在右端 设计意图：问题1是排“数”问题，问题2是排“人”问题，这“数”与“人”仅仅是给排列定义中的“元素”赋予了特定的内涵，实质雷同。两个问题重要的都是对“限制条件”进行分析，此处安排第（1）小题，旨在让学生“领悟”当某元素必须排在某一位置的时候，排列数取决于剩余元素在其他位置上的排列。这三个小题在难度的设置上体现了一定的层次性，通过对这三个小题的分析，让学生再次“体会”解决有限制条件的排列问题的三种最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接法。对有限制条件的排列问题，学生必须熟练掌握上面介绍的三种最基本最常用的方法。此外，就排列知识的学习而言，学生还要会根据给定问题的特征，掌握一些“精巧”的解法（如对称法、捆绑法、插空法等），于是继续向学生提出：如按以下要求排，则又如何？ 甲在乙的右边（可以不相邻）； 甲、乙相邻； 甲、乙不相邻 拓展思考1：如果甲、乙、丙必须排在一起，可有多少种不同的排法？如果甲、乙、丙必须全分开，可有多少种不同的排法？如果甲、乙、丙必须全分开，并且甲、乙、丙三人不能有人排在左端，可有多少种不同的排法？如果甲、乙二人必须相邻且都不与丙相邻，可有多少种不同的排法？如果甲、乙两人之间必须有2人，则不同排法的总数是多少？ 设计意图：从“甲、乙相邻”延拓到“甲、乙、丙全排在一起”，从“甲、乙不相邻” 延拓到“甲、乙、丙必须全分开”，通过对此问题的求解，让学生深刻体会“捆绑法”和“插空法”对解决这类问题的“有效”和“便捷”。在“甲、乙、丙必须全分开”的基础上再增加“甲、乙、丙三人不能有人排在左端”这一条件，旨在让学生对“空”的数量进行准确判断和把握，完善对“插空法”这一知识的建构。 拓展思考2：如果6个人按照某顺序排好以后，要再插入3个人，则不同插法的种数为（ ） A． B C D 设计意图：由于学生已学“插空法”，故从现代认知心理学观点来看，此题设计可谓是以学生现有认知和发展水平为出发点，以“最近发展区”为定向。学生思考后极易做出判断，但若分析不慎，则极易掉入“陷阱”。让学生经历“错误----反思-----质疑------纠错------寻求合理的解释”等一系列的数学思维活动，还学生一个真实的学习过程。 拓展3：假如6个人要排成两排，要求前排2人，后