北京巨人学校高中数学教研室 付正军.doc

北京巨人学校高中数学教研室 付正军 高考中的典型例题： 例1、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。 分析：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法。 解：设存在被点平分的弦，且、 则， ， 两式相减，得 　 故直线 由　消去，得 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。 点评：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。 例2： 正三棱柱的底面三角形的边长是，D、E分别是BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面ABC所成锐二面角的大小. 分析：求二面角是高考中重要的考点，如果题设中没有交线的条件，往往可以利用空间向量直接来求。 解 ： 如图建立空间直角坐标系，得.显然是平面ABC的一个法向量.设是平面ADE的一个法向量，，.由得解之得，，, ∴平面ADE与平面ABC所成锐二面角为45O. 点评：利用空间向量求解时，必须有建空间坐标系的条件，同时应准确记忆和理解空间向量求解角度和距离的计算公式，按照公式来找条件。在立体几何中引入空间向量后立体几何在高考中的难度大大降低。 例3、设a为实数，设函数的最大值为g(a)。 　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) （Ⅱ）求g(a) （Ⅲ）试求满足的所有实数a 分析：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 解：（Ⅰ）令 要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1, ∴t≥0 ① t的取值范围是由①得 ∴m(t)=a()+t= （Ⅱ）由题意知g(a)即为函数的最大值。 注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。 （1）当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段， 由0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2. (3)当a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段， 若，即则 若，即则 若，即则 综上有 (III) 情形1：当时，此时， 由，与a-2矛盾。 情形2：当时，此时， 解得， 与矛盾。 情形3：当时，此时 所以 情形4：当时，，此时， 矛盾。 情形5：当时，，此时g(a)=a+2, 由解得矛盾。 情形6：当a0时，，此时g(a)=a+2, 由，由a0得a=1. 综上知，满足的所有实数a为或a=1 点评：这是一道非常好的高考试题，含字母系数的一元二次函数的单调性和最值是高考中很常见的题型，考生应分类讨论，做到分类准确，不重不漏。 例4、、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值． 分析：四边形的两条对角线相互垂直，则面积等于两条对角线乘积的一半，于是此题转化成求弦长MN，PQ的问题。 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1 将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0 设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则 可得 (1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得 故四边形面积 令=得 ∵=≥2 当=±1时=2，S=S是以 ∴ ②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。 Q P N M F O