数值分析实验(..章).docVIP

试验2.1 多项式插值的振荡现象 实验目的： 观察多项式插值的振荡现象，了解多项式的次数与逼近效果的关系。 实验内容： 问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。Runge给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上的函数 ， 考虑区间[-1，1]上的一个等距划分，分点为 ，i=0，1，2，…，n 则拉格朗日插值多项式为： ， 其中的，i=0，1，2，…，n是n次拉格朗日插值基函数。 实验要求： 1、选择不断增大的分点数目n=2，3，………，画出原函数及插值多项式函数在[-1，1]上的图像，比较并分析试验结果。 2、选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数 ，， 重复上述的实验看其结果如何。 实验步骤及结果分析： 1、选择不断增大的分点数目n=2，3，4，5，6，7，8，9，10做的拉格朗日插值多项式，并与原函数值做比较，如下图所示。 观察图像可知： n=2,3时插值函数和原函数差别很大，n=4，5，6时插值函数与原函数的逼近程度相对较好，继续增加插值次数n，插值函数在插值区域的中间部分收敛，而在这区间外是发散的，此外，n=7,9时在插值中间区域逼近效果不好。 因此，适当提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是次数太高反而产生相反的效果。 2、选择其他的函数进行插值。 原函数，区间[-5，5]，插值结果如下图： 观察图像可知： 低次插值时，插值效果不好。 n=7,8,9,10时，在区间[-2，2]，插值函数与原函数逼近程度好，但在区间外插值函数发散。其中，n=8,10插值效果比n=7,9好。 原函数，区间[-5，5]，插值结果如下图： 观察图像可知： n=5,6,7,8,9,10时，在区间[-3，3]，插值函数与原函数逼近程度好，但在区间外插值函数发散。其中， n=7,9在插值区间两端发散的更剧烈。 分析在插值区间两端发散的原因： 次数越高，计算量就越大，积累误差也大，在整个区间上做高次多项式，当局部插值节点处的值有微小偏差时，可能引起整个区间上函数值的很大变化，使计算不稳定。 Matlab程序如下： function t_charpt2 %数值实验二 %输入：实验选择，函数式选择，插值节点数 %输出：拟合函数及原函数的图形 result=inputdlg({请选择实验,若选2.1,请输入1,否则输入2:},charpt_2,1,{1}); Nb=str2num(char(result)); if(Nb~=1)(Nb~=2) errordlg(实验选择错误!); return; end promps={请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:}; result=inputdlg(promps,charpt 2,1,{f}); Nb_f=char(result); if(Nb_f~=fNb_f~=hNb_f~=g) errordlg(实验选择错误！); return; end result=inputdlg({请输入插值点数N:},charpt_2,1,{10}); Nd=str2num(char(result)); if(Nd1) errordlg(结点输入错误！); return; end switch Nb_f case f f=inline(1./(1+25*x.^2));a=-1;b=1; case h f=inline(x./(1+x.^4));a=-5;b=5; case g f=inline(atan(x));a=-5;b=5; end if(Nb==1) x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0); x=a:0.1:b;y=lagrange(x0,y0,x); % clf;把曲线显示在一张图上 fplot(f,[a,b],co); hold on; plot(x,y,b--); xlabel(x) ;ylabel(y=f(x)o and y=ln(x)--); elseif(Nb==2) x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0); x=a:0.1:b; cs=spline(x0,y0);y=ppval(cs,x); % clf;把曲线显示在一张图上 fplot(f,[a,b],co); hold on; plot(x,y,k-);