第四章平面问题的有限单元法.pptVIP

有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application 4.1 有限单元法的计算步骤 4.2 平面问题的常应变(三角形)单元 4.2.1 位移函数 4.2.2 形函数的特点及性质 4.2.3 收敛性分析 4.2.4 应变矩阵 4.2.5 应力矩阵 4.3 单元刚度矩阵 4.4 整体分析与求解 4.5 工程实例 4-1 有限单元法的计算步骤 弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析 4-2 平面问题的常应变(三角形)单元 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。 4-2 平面问题的常应变(三角形)单元 据弹性力学几何方程 得单元的应变分量 4.2.2形函数的特点及性质 形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的 阶次。 将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵： 4-3 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵 可记为分块矩阵形式 将应变矩阵[B]的分块阵代入单元刚度矩阵，可得其子块计算式： 对于常应变三角形单元，考虑平面应力问题弹性矩阵[D]，可得 College of Mechanical Engineering Yangzhou University 4-6 问题讨论 第四章 平面问题的有限单元法 （1）整理原始数据。将结构离散化，对单元和结点编号。 （2）求单元刚度矩阵[k] （3）用刚度集成法，形成整体刚度距阵[k]。 （4）求等效节点载荷，并形成载荷列阵{Q}。 （5）引人支承条件。 （6）解[K] {δ}={Q}方程，求出节点位移{δ}。 （7）求单元应力。 （8）求单元节点力。再由结点平衡求得结点支承反力。 （9）将计算结果进行整理，作出节点位移图及截面应力图。 答： 1、试简要阐述有限元分析的基本步骤。 College of Mechanical Engineering Yangzhou University 4-2 平面问题的常应变(三角形)单元 第四章 平面问题的有限单元法 b, a 习题：图示三角形单元，试求（1）形态矩阵[N]； （2）单元刚度矩阵[k]e 设 a=2m, b=3m。 College of Mechanical Engineering Yangzhou University 第四章 平面问题的有限单元法 4-2 平面问题的常应变(三角形)单元 4.2.4 应变矩阵 应变矩阵[B]反映了单元 内任一点的应变与节点 位移间的关系 显然，常应变三角形单元的应变 矩阵[B]为常量矩阵， 说明在该单元上的应力和应变为常值。 由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。 College of Mechanical Engineering Yangzhou University 第四章 平面问题的有限单元法 4-2 平面问题的常应变(三角形)单元 4.2.5 应力矩阵 由平面问题物理方程 得： 记 则 为应力矩阵 4-2 平面问题的常应变(三角形)单元 第四章 平面问题的有限单元法 College of Mechanical Engineering Yangzhou University 若 则 讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位移表示节点力的表达式。 由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第三章中已经用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。 yi F i xm F xj F xi F ym F y j F m j * i v i * m u * j u * i u * m v * j v m j y s * xy * y * x g e e xy t x s (a)单元结点力、