2016年《步步高》高考数学（人教A版，理科）大一轮总复习讲义：第章 三角函数、解三角形.8.doc

§4.8　解三角形应用举例 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 3．解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如图①，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　√　) 　 (2)如图②，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(αβ)，则可以求出A点距地面的高度AB.(　√　) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　) (4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，]．(　×　) (5)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为2cos 10°.(　√　) 1.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 答案　A 解析　∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°， ∴∠ABC＝180°－105°－45°＝30°. 在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝50 (m)． 2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° 答案　B 解析　如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A在点B的北偏西15°. 3．(2014·四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 答案　60 解析　根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，，＝，BC≈2××0.60＝60(m)． ＝3＋2＋－＝5， ∴AB＝ km，∴AB之间的距离为 km. 思维升华　求距离问题的注意事项 (1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形． 　(1)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是__________千米． (2)已有A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________km. 答案　(1)　(2)－1 解析　(1)如图所示， 由题意知C＝45°， 由正弦定理得＝， ∴AC＝·＝. (2)如图，由题意可得， ∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3. sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． 2． A．30 m B．60 m C．30 m D．40 m 答案　B 解析　如图，在Rt△ABM中， AM＝＝＝＝20m. 过点A作AN⊥CD于点N， 易知∠MAN＝∠AMB＝15°， 所以∠MAC＝30°＋15°＝45°， 又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°， 从而∠ACM＝30°. 在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40 m，在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60 m， 故通信塔CD的高为60 m. 3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，