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174 非线性驻定系统的稳定性定理 非线性驻定系统的稳定性定理 任崇勋 (济宁师专数学系山东272125) 摘要 本文用李雅普诺夫第二方法研究了一炎非线性驻定系统的稳定性，给出了判定稳定性的 定理。 关键词 非线性驻定系统稳定性李雅普诺夫函数 1．引言 对于非线性系统稳定性的研究，李雅普诺夫第二方法仍是主要方法，关键的问题是如何构造李 雅普诺夫函数。我们对一类非线性驻定系统讨论了李雅普诺夫函数的作法，给出了一个判定其稳 定性的理。 考虑非线性驻定系统： ^ 等=工(mm…，靠)(江1“2一，M (1) 将(1)写成如下形式 出．工(x1，x2，’’’，％) 面2玎i瓦丽 或 石(Ⅳ一，z：，…，‰)dx。=工(』t，z：，…，Ⅳ。)如(pi) (2) 利用适当的代换及加法将(2)化成如下形式： ∞l(≈1，x2，…，*。)如I+∞2(zl，*2，…，x。)dx2+… +∞。((z1，x2，…，Ⅸ．)dx。=0 (3) 系统(3)的稳定性的判定可依据李雅普诺夫稳定性定理进行，现叙述如下(见“’)： 者为与”符号相反的常号函数，或者恒等于零，则(3)的未被扰动运动为稳定。 2．主要结果 对于系统(3)可以考虑矢量场 ，(M)=甜l(xl，z2，·一，x。)手l+∞2(z1，Ⅸ2，…，x。)邑 +···+叫。(z】，z2，。一，』n)g-。 这里肘(z，，3,2，…，％)是n维空间中的点，矗，不，…，茅。分别是n维空间直角坐标轴上的单位矢 量。设11为n维空间中任一条封闭曲线，则F沿r的第二型曲线积分为： 十r，。五=，r甜1(Ⅳ1，z2，…，“)dxl+础2(zl，Ⅳ2，…，扎)出2 微分方程理论和应用 175 +…+甜。($1，92，…，*。)dx。 通区域G内具有一阶连续偏导数，若满足下列条件： 2·1等=筹(p¨ (4) 2．2 函数v(x1，x2，…，z。)=Icul(r1，0，…，0)drl+ ‘ r”z(xl,r2,0J ¨’o)出：+”·+C0“mm…m。。屯J ” O(或0)，(Ⅸl，*2，…，％)∈G (5) 则(3)的未被扰动为稳定。 证设r为G内任一条分段光滑的有向闭曲线，∑是以r为边界的光滑或分汔光滑的有向曲 面，由定理假设知，诸职(i=1，2，…，n)在∑及11上具有一阶连续偏导数。 由Stokes公式(见‘23知)， =墨嘉一百aon_j昧。蚺…+等～簧出：出。 (6) 由条件1)有 故沿G内的任意一条有向曲线C(A、聊的第二型曲线积分与路径无关，只与起点A、经点B有关。 取起点为原点、终点为G内的一动点(*。，z：，…，Xn)，得到函数： E焉‘’州钔％…㈡蚶硝m锄…㈡％+”．+ ∞。(*l，#2，…，％)出