非双曲动力系统中的阻碍集理论.pdfVIP

第5卷增刊 非 线 性 动 力 学 学 报 V01．5sl of se脚and Jun·1998 1998年6．El JournalNonlinear功mam妇inTectmo／ogv 非双曲动力系统中的阻碍集理论。 唐云 (清华大学应用数学系北京．10008,1) 摘要阻碍集是定义在相空阃中的一类特殊集合，它的存在直接描述了系统的结构不穗 定性，因而有可能对于非双曲系统的研究提供一种较统一的观点和较有效的途径．本文介绍 由廖山涛提出的阻碍集理论的背景．它的基本概念、结论及与非双曲系统，特别是与非双趣混 沌吸引子的关系，从而探讨非线性动力学理论发展的新方向． 关薯询动力系绽，盟碍集 中田分羹号0175 1引言 由廖山涛提出的阻碍集理论曾在其微分动力系统的研究中起着蔹心作用(见[3])．该 理论有可能对手非双曲动力系统的发展产生重大影响． 双曲与非双曲动力系统的一个重要区别是前者为结构稳定，后者为结构不稳定．微分 动力系统理论研究的最近进展，特别是稳定性猜想的解决(Ez，12])表明人们对于双曲(或 公理A)系统的认识已趋于完善，因而对于非双曲系统的研究愈来愈引人注目．特别是大 都是非双曲的．虽然近二、三十年来对这类系统的研究已有大量的工作积累，但正如 ， ‰le S在[8]中所揭示的，对这类系统至今还缺乏～个有效的数学工具．阻碍集是定义在 相空间中的一类特殊集合，它的存在直接描述了系统的结构不稳定性，因而有可能对于非 ． 双曲动力系统的研究提供一种较统一的观点和较有效的途径． 以往动力系统的研究方法大多基于一些性质，如公理A、双曲性和横截性等．而阻碍 集不但是性质还是一个几何实体，我们可以把它的结构计算出来(见D0，113)．通过它，并 运用现代计算技术，有可能对于较广的一类复杂系统的稳定性态及结构变化作出较为细 致的研究．本文介绍阻碍集理论提出的背影及它的基本理论，并且讨论阻碍集与非双曲系 统，特别是与非双曲混沌吸引子的关系，从而探讨动力系统发展的新方向． -本文于1998年3月2日收到 唐云t非双曲动力系统中的阻碍集理论 9 2阻碍集理论提出的背景 廖山涛的阻碍集理论于j976～l981年提出．最初目的是为船决关于稳定性猜想，因 此，我们从该猜想的一些有关材料讲起． 盯上的C，流竹和切丛TM上的单参数变换群也=d秘．点z∈M称为X的非游荡点，若对 于z的任一邻域}’存在￡≥1，使得斜(1’)与}‘相交．这些点组成x的非游荡集，记作口 (盖)．回忆x为结构稳定是指存在x在x中的一个邻域r。使得I’中任一元的相应流与铷 拓扑等价，即可通过一个M到自身的同胚将该流的轨道保向地映为让的轨道． 的非游荡集由有限个奇点和闭轨组成，它们都是双曲的，且X无鞍点连结轨． 为把Peixoto的结果推广到高维需要引进一些新概念．识不变ACM称为双曲的，若 限制切丛死Ⅳ有一连续的让不变分解俨。王0∥，使得对于某常数Ao和T0，不等式 0 dR|酽o)||≤P一。，m(d讯I俨o))≥一 对于所有z∈M和t≥T成立，这里m为最小范散，即m(4)=nlin川Arh8”0=l}，对 任一线性映射以．称X满足公理A，若口(x)为双曲的，且奇点和闭轨在口(x)中稠．。∈盯 的稳定流形W—o)和不稳定流形w+o)定义为 0) Wo)=(r∈Mf