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广西大学数学建模考试试题A及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、??什么是数学模型？(5分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2、??数学建模有哪几个过程？(5分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。 3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是?????? 其中x＝（x1，…xm）T?输入向量，y为输出，wi是权系数；输入与输出具有如下关系： ?????????????????????????????????????????????????????? θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分） 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分) （2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分) 答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间． （2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1． ? 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。　　　　　　　　　 图二 记?H?为脚A,C?与地面距离之和，?G?为脚B,D?与地面距离之和，θ?为AC连线与X轴的夹角，不妨设H(0)0 , G(0)=0,(为什么?)?????　??????????????? 令??f(θ) = H(θ) - G(θ)??则f是θ的连续函数,且?f(0)=H(0)0，将方凳旋转?90°,则由对称性知H(π/2)=0, G(π/2)=H(0)从而?f(π/2)= -H(0) 0由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使?f(θ) = 0 ?? (二)命题对长凳也成立，只须记?H?为脚A,B?与地面距离之和，??G?为脚C,D?与地面距离之和，θ?为AC连线与X轴的夹角，将θ旋转1800同理可证。 三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分） 1、 ， 试用和法求其最大特征根及对应的特征向量及一致性指标。(9分) 答： 中各列归一化??????? 各行求和??????? 再归一化????????? = ??即为对应最大特征根的特征向量。??????????????????（?3分） 而 ，（?2分）， 所以最大特征根为 ???（2分） 其一致性指标为： CI=??????（?2分） 2、甲、乙、丙三人经商，若单干，每人仅能获利1元，甲乙合作可获利7元，甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元，问三人合作时怎样合理地分配10元的收入。 解：甲、乙、丙三人记为，经商获利定义为上的特征函数，即 ， ， ， ， ， ?……3分 下表是关于甲的分配的计算。 {1}????{1、2}?????{1、3}???????I 1????????7??????????5?????????10 0????????1??????????1??????????4 1????????6??????????4??????????6 1????????2??????????2??????????3 1/3??????1/6????????1/6????????1/3 1/3???????1?????????2/3????????2 （元）?????????????……………………3分 同法可算得：（元），??（元）???………………3分 3、产品每天需求量为常数r,?每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2,试作一合理假