常微分方程4.3.pptVIP

* 4.3 常系数非齐次线性方程的解法 本节讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 　L[x]=f(t) … … (1) 的解法. 方法（一）常数变易法．此法适用于各种形式的f(t)，但计算繁琐复杂，且需要积分． 方法（二）当f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt] eαt 时，可用比较系数法（待定系数法）． 方法（三）对（二）中f(t)的或其它特殊形式的f(t)可用微分算子法(定义逆算子并推导逆算子的性质).能方便地书写推导过程． 方法（四）Laplace变换法.f(t)（原函数）应满足|f(t)|Meσt, M ,σ是正数．需知道 有关的像函数.此法简便,工程计算中常用. 以下介绍方法（二） 类型Ⅰ当f(t)=(b0tm+b1tm-1+…+bm-1t+bm)eλt 时,方程(1)有形如 的特解,其中k为特征根λ的重数(λ不是特征根时,k=0). 1)λ=0时, f(t)=b0tm+b1tm-1+…+bm-1t+bm. ① λ=0不是特征根,即F(0)≠0,所以an≠0,取k=0以 代入方程(1)得 因为an≠0,所以Bi可逐个从(3)中唯一确定. ② λ=0是k重特征根,则 此时,方程(1)成为 作 变换,则(4)化为 对方程(5), an-k≠0,所以λ=0不是特征根,根据已经讨论过的情形①知(5)有形如 的特解. 因而方程(4)有特解 满足 这表明 是t的m+k次多项式,其中t的次数≤k-1的项带任意常数.取这些任意常数为0,得原方程有特解 2)λ≠0时采用4.2.2节中的方法:作变换 则方程(1)化为 Ai为常数,并且方程(1)的特征根λ对应于方程(6)的0特征根,重数也相同.因此,利用上述结果得 λ不是(1)的特征根时,(6)有特解 从而(1)有特解 λ是(1)的k重特征根时,(6)有特解 从而(1)有特解 例 求下列各方程的通解: 类型Ⅱ f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt]eαt 时,其中A(t),B(t)是t的多项式,最高次数是m,则方程(1)有形如 的特解,其中k为特征根α+iβ的重数,P(t), Q(t)是待定的m次多项式. 注意到类型Ⅰ的讨论中,λ可以为复数.因此,这里我们设法将写成类型Ⅰ的指数形式. 根据非齐线性方程的性质,两方程L[x]=f1(t), L[x]=f2(t)的解的和是方程(1)的解. 又注意到: 所以,当x(t)是L[x]=f1(t)的解时, 是L[x]=f2(t),的解. 于是,利用类型Ⅰ的结果,得方程(1)有以下形式的解 其中D(t)为t的m次多项式,而P(t)=2Re{D(t)}, Q(t)=2Im{D(t)}. 例 4 解方程x″+4x′+4x=cos2t. 解法(一)特征根是λ1,2=-2,所以设所求特解为 代入原方程得 因此,通解是 *