常微分期末复习.pptVIP

* * * 该问题的提出是由寻找齐次线性方程组的指数函数与向量乘积形式的解引出的。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 定理2指出齐次线性微分方程组的解构成一个线性空间，而定理6给出了这个线性空间的维数。 * * * * * * * * * 直接代入验证。 * 直接代入验证。 * 利用齐次线性微分方程组解的结构和非齐次线性微分方程组解的性质证明。 * 直接代入验证。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 对于n阶线性微分方程的初值问题可以通过引入新的未知函数将其转化为形如(5.5)的微分方程组的初值问题。 * * 关于所给线性微分方程组不能化为高阶线性微分方程可以利用反证法法说明。 将高阶线性微分方程转化为一阶线性微分方程组的好处在于其形式的简洁性，同时可以借鉴一阶微分方程解的存在性的证明方法得到一阶线性微分方程组的解的存在唯一性，进而可以得到高阶线性微分方程的解的存在唯一性。同时我们可以利用代数的方法得到矩阵为常数矩阵时一阶线性微分方程组的求解方法，这当然可以看成常系数高阶线性微分方程求解的类似，也可以看成其结果的延续，但是形式会更简单。 * * * * * * * * * * * 直接代入验证。 * 定理2说明齐次线性微分方程组的解构成一个线性空间，因此，如果我们能够得到这个线性空间的基，那么这个空间的任何向量都可以通过基表示出来了。为了说明这个问题，我们给出向量函数组的线性相关与线性无关等概念。这些问题的讨论与线性空间中向量的有关概念是类似的。 * * * 则 §5.3 常系数线性微分方程组 所以, ? (t)可以表示为 §5.3 常系数线性微分方程组 (5.33)满足初值条件? (0) ?? 的解? (t)为 §5.3 常系数线性微分方程组 有了以上的讨论我们就可以计算exp At了. 若A只有一个特征值, 则对任意u, 有 §5.3 常系数线性微分方程组 即 从而有 对一般的A, 由于 §5.3 常系数线性微分方程组 其中 因此, 依次令? ? e1, ? ? e2, ?, ? ? en, 由(5.52)可 得到n个解, 以这n个解为列向量的矩阵就是exp At. §5.3 常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性微分方程组 例7 如果 A是例4中的矩阵, 试求解初值条件 x ? Ax , ? (0) ?? , 并求exp At. §5.3 常系数线性微分方程组 ? ? 3是二重特征值. §5.3 常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性微分方程组 例8 如果 求exp At. §5.3 常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性微分方程组 例9 考虑方程组 这里系数矩阵 试求满足初值条件? (0) ?? 的解, 并求exp At. 3. 当 t 趋于无穷时解的性态 公式(5.52)不仅可以帮助我们计算exp At, 同 时还可以帮助我们讨论方程组的解当t ???时的 性态. §5.3 常系数线性微分方程组 定理11 给定常系数线性微分方程组 §5.3 常系数线性微分方程组 那么, (1) 如果 A的特征值的实部都是负的, 则(5.33) 的任一解当t ???时都趋于零; (2) 如果 A的特征值的实部都是非正的, 且实 部为零的特征值都是简单特征值, 则(5.33)的任一 解当t ???时都保持有界; (3) 如果 A的特征值至少有一个具有正实部, 则 (5.33)至少有一个解当t ???时趋于无穷. 4. 基解矩阵的其它计算方法 (1) 利用若尔当标准型 对于任意矩阵 A, 必存在非奇异矩阵T, 使得 T?1AT ? J, (5.55) 其中J具有标准形, 即 §5.3 常系数线性微分方程组 这里 §5.3 常系数线性微分方程组 为nj阶矩阵. 由于 §5.3 常系数线性微分方程组 其中 §5.3 常系数线性微分方程组 由此可得 §5.3 常系数线性微分方程组 也是基解矩阵. 由基解矩阵的性质可知矩阵 (2) 利用哈密尔顿-凯莱定理 矩阵 A的特征多项式是其零化多项式. 利用哈密尔顿-凯莱定理容易验证 §5