第4章 机械振动基础.doc

第4章 机械振动基础 4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k1 = 5 kN/m，k2 = 3 kN/m。物块重量m = 4 kg。求物体自由振动的周期。 解：根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 解出周期 图（a）为两弹簧串联，其等效刚度 所以 代入数据得 图（b）为两弹簧串联（情况同a） 所以 T = 0.290 s 图（c）为两弹簧并联。 等效刚度 keq = k1 + k2 所以 代入数据得 T = 0.140 s 图（d）为两弹簧并联（情况实质上同（c））。 所以 T = 0.140 s 4-3 如图所示，质量m = 200 kg的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s下降。当下降时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m。如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。 解：依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A，刚夹住时，吊索处于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。 根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。即 Tmax = Vmax 其中 ， 吊索中的最大张力 代入数据得 4-5 质量为m的小车在斜面上自高度h处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。缓冲弹簧的刚性系数为k，斜面倾角为。求小车碰着缓冲器后自由振动的周期与振幅。 解：取小车为研究对象，假设斜面光滑，选静平衡位置为原点，沿斜面向下为x轴的正向。当弹簧压缩量为x时，小车受恢复力作用，而为弹簧的静压缩量，显然 （受力分析如图所示） 小车自由振动微分方程 即 （1） 令 周期 设微分方程（1）的解为 当t = 0时 ， 解得 振幅 4-7 质量为m的杆水平地放在两个半径相同的轮上，两轮的中心在同一水平线上，距离为2a。两轮以等值而反向的角速度各绕其中心轴转动，如图所示。杆AB借助与轮接触点的摩擦力的牵带而运动，此摩擦力与杆对滑轮的压力成正比，摩擦因数为f。如将杆的质心C推离其对称位置点O，然后释放。（1）证明质心C的运动为谐振动，并求周期T；（2）若a = 250 mm，T = 2 s时，求摩擦因数f。 解：取AB杆为研究对象，其受力如图所示。以AB杆质心在静平衡位置（即对称位置O）为坐标轴的原点O。 1）杆作水平方向（x轴方向）平动，所以。根据平面运动微分方程有 （1） （2） （3） 式中 由式（2）、（3）解得 及 把及代入式（1）得 即 令 则上式可写为 因此，证明了杆AB质心C作谐振动，其周期为 2）由得 把有关数据代入算得滑动摩擦系数 4-9 均质杆AB = l，质量m，其两端销子可分别在水平槽、铅垂槽中滑动，为静平衡位置。不计销子质量和摩擦，如水平槽内两弹簧刚度皆为k，求系统微幅振动的固有频率。又问，弹簧刚度为多大，振动才可能发生。 解： （以y = 0位置的重力势能为0） 代入 即 微振动时，，则 振动能发生的条件为 即 4-11 如图所示，已知均质杆AB长2l，质量为2m，在中点O与杆CD相铰接，杆CD的角速度为，质量不计，CD = 2h，盘簧刚性系数为k，当时，盘簧无变形。求：（1）当时杆AB微振动的固有频率；（2）当 = 常数时，与的关系；（3）当 = 常数时，C、D处的约束反力；（4）在 = 常数时，杆AB微振动的频率。 解：1）以AB杆为研究对象。如，则AB杆绕O轴转动微分方程为 由于 将上述方程改写为 故 （1） 2）以AB杆为研究对象，如 = 常数时，由于AB杆的惯性力矩为 由动静法知AB杆的平衡条件为 故 3）以整个系统为研究对象，如图（a），由动静法知系统的平衡方程为 解得 （与原设反向） （与原设反向） 4）设杆AB偏离动平衡位置微小角度，如图（b）所示。杆AB在图示位置时的运动微分方程为 （2） 其中MI可参照第2）部分推导方法得到 因角微小， 于是得 把上式代入式（2）中， 再把式（1）代入， 即 故 4-13 大皮带轮半径为R，质量为m，回转半径为，由刚性系数为k的弹性绳与半径为r的小轮连在一起。设小轮受外力作用作受迫摆动，摆动的规律为，且无论小轮如何运动都不会使弹性绳松驰或打滑。求大轮稳态振动的振幅。 解：如图（a），设弹簧原来处于静平衡，当小轮转角，大轮转角时， 上边弹性绳缩短， （图b） 下边弹性绳伸长， （图b） 微分方程 即 （1）