第17节 斗智的策略.doc

第17节 斗智的策略 【内容 例题】 战国时期，齐王与田忌赛马的故事，是斗智策略的一个精彩例子。 齐王与大将田忌约定，双方各出上、中、下三种等级的马各一匹，进行三场对抗赛，输一场付给胜者黄金一千两。由于田忌的马比齐王同等级的马都要略逊一筹，所以，同等级的马进行比赛时，齐王赢了全部三场，得到了三千两黄金。 当齐王再次邀请田忌赛马时，田忌感到为难，一方面是必败的结局，另方面是君王的旨意不好违抗。田忌的军师孙膑是位足智多谋的军事家，他了解到主将闷闷不乐的缘由后，便替田忌出了一个主意：用自己的下等马与国王的上等马比赛，而用自己的上等马 与国王的中等马比赛，再用自己的中等马与国王的下等马比赛。结果是田忌输了第一场，胜了第二、三场，还赢了国王的一千两黄金。 这是一个对策问题，这类题在小学数学竞赛中时有出现。谁能在斗智游戏中取胜，取决于谁更会动脑筋。下面就给同学们介绍一些斗智的策略和窍门。 【例1】有分别装7根和10根的两盒火柴，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能同时在两盒中都取，也不能不取。规定取到最后火柴者为胜。问甲先取时是否有必胜的策略？ 【分析】 甲要取胜，关键是让乙面临平衡态，此处的平衡态是 两堆火柴相等。 【解】 甲先从装10根火柴的盒中取定10－7=3根，使两盒火柴数相等。 然后，乙从某一盒中取多少根，甲就从另一盒中取同 样的根数， 这样，乙始终面临两盒数量相等的火柴，甲必取到最后火柴，故甲必胜。 【评注】此题通过两堆火柴相等，使解答筒捷明快。 【例2】甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定禁止写已写过的约数，最后不能写的为失败者，那么，先写的人应写什么数字才能获胜？ 【分析】 解答这类斗智问题， 若光凭想象是很难得出规规律的。 不妨两人在黑板上操作演示，从中发现取胜的规律。 【解】设甲先写。 (1)甲先写5，因5的约数是1和5不能再写，应将剩下的2、3、4、6、7、8、9、10，将这8个数两两分组：(2、7)、(4、6)、(3、8)、(9、10)。 再根据乙写几，甲只要写乙写的那一组的另一个数。如乙写2，甲应写7；乙写4，甲应写6；……，这样甲一定能取胜。 (2)若甲先写8，因8的约数是1、2、4、8不能再写，应将剩下的3、5、6、7、9、10，将这6个数两两分组：(3、5)、(6、7)、(9、10)。 若乙写3，甲应该写5；若乙写6，甲应该写7；……这样甲一定能取胜。 【评注】由本例的解法，不难看出解这类斗智问题的规律是： 先写的入应写出这样一个数：这个数的约数个数为偶数，这样剩下能写的数必为偶数，可将它们两两配对．对方写几，你就写出同一组中的另一个数，则先写的人一定能取胜。 —————————————————————— 【例3】61根火柴，两人轮流拿取。规定每个人每次至少拿走1根，最多拿走3根，直至拿完为止。谁拿得最后一根火柴谁胜。取胜的办法是什么？ 【分析】 你要想拿得最后一根火柴， 那么你最后一次取得的火柴中必须包括第61根， 这只有当对手在前面取走1－3根后终止在58根或60根才行。 要做到这一点， 你前一次拿火柴必须终止在57根(57= 61－4)。 仿上类推，你再前一次拿火柴必须终止在53根(53= 57－4= 61－2x4)； 逐次类推，你的第一次拿火柴应终止在61－15×4=1根，这样，你拿火柴应终止的根数（要点数）从小到大就是： 1、5、9、…、53.57、61。 根据以上分析，可得以下解法。 【解】取胜对手的办法是： (1)先拿1根火柴； (2)在对手拿走了a根（1≤a≤3）后， 那么你就拿(4－a)根， 这样，保证你能拿到最后第61根火柴。 【评注】解数字较大的对策问题，通常考虑用逆向思维求解，这是解此类题的普遍规律。 【例4】现有三堆石子，石子数分别为17、15、3。两人玩抓石子游戏，规定双方轮流从三堆中的一堆拿走一粒或几粒石子（甚至把这堆石子一次拿光），但每次不准一粒不拿，也不准从这堆拿几粒，从那堆拿几粒，谁拿到最后一粒或几粒石子，谁就获胜。那么 先取石子的人若想取胜，应采用怎样的对策。 【分析】把三堆石子数分别写成下面一列数：1、2、4、8、16、32、64、128、…中的若干数的和。 17= 16+1． 15= 8+4+2+1． 3=2+1。 (1)将数16，l，8，4，2，1，2，1配成对(1，1)(2，2)，在不能配成数对的数中16最大。于是我们确定：从加数16所对应的那堆石子先敢（即从17粒石子的那一堆先取）。 (2)那么从17粒石子那一堆应取几粒？ 由于12= 8+4，因此在这一堆应取走5粒，剩下12粒(17－5= 12)，这样得到的所有加数就能全部配成对了。 12= 8+4, 15=8+4+2+1