（课外阅读）：《中国小百科全书７：思想与学术》数学.pdfVIP

)( 思 想 与 学 术 数 学 集 合 论 集合论 数学的一个重要分支 现代数学的基础 集合论是康托 ! # $ 尔在 世纪末创立的 它经历了两个发展阶段 年以前称为 % $ ’%() 朴素集合论 年以后称为公理集合论 *%() $ 朴素集合论产生的背景是分析学 康托尔在研究 函数展开 # + 为三角级数的唯一性 问题时 首先提出了集合的概念 并且提 , # # 出了对无穷集合分类的一种法则 即 一一对应 法则 如果两 # + , $ 个集合的元素之间能建立一一对应的关系 则称这两个集合等势 # $ 一个无穷集合可与它的一个真子集等势 这与传统的观念 全量 # + 大于部分 矛盾 但康托尔认为这恰恰是无穷集合区别于有穷集 , # 合的特征 他称与全体自然数集合 等势的集合为可数集 当他 $ - # 证明了全体有理数集和全体代数数集都是可数集之后#又发现全 体实数集 不是可数集 这说明无穷集合之间存在着差异 为了 . # # 刻划这种差异 他引进了基数的概念 同时他还开始研究有序的 # # 集合 特别是良序集的结构 并引入了序数的概念 将数学归纳 # # # 数 学 $# 法推广到自然数以外 提出了超限归纳法 ! 年左右集合论中出现了悖论 其中最著名的是罗素悖 #$%% ! 论 悖论的出现表明集合论的理论是不协调的 也使人们对整个 ! 数学推理的正确性与结论的真理性产生怀疑!酿成了数学史上的 第三次危机 为了克服悖论所带来的困难 策梅洛于 年提出了一个公 ! #$% 理化方案 后经弗伦克尔和斯科朗的改进 形成了现代的公理集 ! ! 合论