§9.7第一型曲面积分的计算.ppt

* §9.7 第一型曲面积分的计算 类似于第一类曲线积分中曲线形物件质量的讨论, 如果把曲线改成曲面, 面积元素 被积函数 积分曲面 积分和式 2. 用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量 二、第一型曲面积分的计算法 记忆口诀：“一代二换三投影”。 作 业 总 习 题 （P196） 1（2）（5）（上凸曲线弧部分）； 2（3）；6 ；8 ； 10 ； 11 ； 14（1） 15 ；16 ； 17 ；19; 23 ； 25 。 习 题 六 （ P 196 ） 1 ；2 ；6 ；7 。 D1 D2 o x y -1 1 2 （2）若曲面方程为，，则 ， （3）若曲面方程为，，则 。 例1．计算，其中由平面 ，，及所围 成的四面体的整个边界曲面。 ，， ∵， ∴ ∵在，，上，， ∴。 例3．计算，其中：， ，。 解：∵曲面关于平面和平面对称， ∴ ， ：，面上的投影区域为， 则曲面的面积， 面积元素 ， （4）时，。 把投影到平面，得， 的方程为， ，， 注：（1）计算第一型曲面积分时，只要将 被积函数中的，面积元素 ，换成投影区域即可。 例4．求密度为的抛物面壳 的质量。 解：质量， 其中。 ∴ ∵积分曲面关于， ，， 一、第一型曲面积分的概念与性质 1.定义 设是光滑的，在。 任意分成（同时代表第i小块曲面的面积）， ，作和式， 设，如果当，这和式的极限 总存在，则称此极限为第一型曲面积分 或对面积的曲面积分，记作，即 注： 第一型曲面积分具有与第一型曲线积分相类似的性质。 解：将平面，， 及上的部分依次记为 ，，，，则 例5．计算曲面积分，其中 解： 由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知： 由坐标的轮换对称性知： ∴ ∴，。 其中， ：。 设光滑曲面方程为，面上的 投影区域为，函数在上有一阶连续偏 导数，若上连续，则有 习题三（P187） 4.求曲线AB的方程，使图形OABD绕 x轴旋转所生成的旋转体的形心的横坐标等于曲 线上任一点B的横坐标的。 解：设，， 即AB的方程为。 又设旋转体，密度常数，则有 ， 而， ， 由题设知， ， 求导得 ， 再求导得 。 按题意要求夹在定球内部的变球表面积， 则定球与变球的球面方程分别为 和 ， 故 ， 9．设半径为R的球的球心位于半径为a的定球面上， 试证当前者夹在定球内部的表面积S为最大时，。 解：， ， ，， 由L所围成的投影区域为 。 两球面的交线 在上的投影曲线为 ，， 令，得唯一驻点， ∵，∴是极大值点，也是最大值点， 。 例2．计算，是由锥面 被柱面所截得的有限部分。 解： ∵ ， ，， ， ∴ ∵关于面对称，而 ，被积函数 中都是y的奇函数， ∴， ∴。 解：抛物线把D分为两个子区域： ， 。 P170.1.6)．求，其中。 被积函数在D上是关于偶函数，积分 区域D关于对称，、也关于对称，故