N角星的尖角度数之和.doc

N角星的尖角度数之和 有一道这样的数学题：如图①所示，为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星．试回答以下问 图1（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由． 这道题实际并不难，只要利用三角形内角和定理及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的知识就可以解答。解答过程如下： 1.证明: 如图①。设BD、EC的交点为F，AC、BD的交点为G； ∵∠BFC=∠B+∠E,∠DGC=∠A+∠D; ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BFC+∠DGC+∠C ∵∠BFC+∠DGC+∠C=180° ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 2，能；如图③，设蜕变前的五角星为ABCDF,连结BC; 证明一: 在△ FBC中，∵ ∠F+∠FBC+∠ FCB=180 ° ∴∠F+∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180 ° △EBC中∵∠E+∠EBC ∠ECB=180 ° ∴ ∠E+∠1+∠2+∠3+∠4=180 ° ∴∠F+∠1+∠2+∠3 +∠4+∠5+∠6=∠E+∠1+∠ 2+∠3+∠4 ∴ ∠F+∠1+∠2+∠3+∠4=∠E+∠1+∠2 图2 ∴ ∠E+ ∠EBD+∠ECA= ∠F+ ∠FBD+ ∠FCA ∴ ∠A+ D+∠E+∠EBD+∠ECA =∠A+ D+∠F+∠FBD+∠FCA =180 ° 证明二:设BD、AC的交点为G，AC、BE的交点为H； ∵∠HGD=∠1+∠BHD,∠BHD=∠E+∠2; ∴∠A+∠EBD+∠ACE+∠D+∠E =∠A+∠1+∠2+∠D+∠E =∠A+∠AGD+∠D =180° 作为一道数学题，本应到此为止。但解答完之后，感觉好像发现了点儿什么，所以，就对N角星图案做了一下对比研究。你还别说，还真就发现了很多有意思的内容。 首先说一下由第一个问题引发的思考：五角星的五个尖角之和为180度，那么，六角星、七角星会怎么样？八角星、九角星呢？N角星呢?为了说明这个问题，先要介绍一下一个概念：芒星。芒星是由几个完全的等腰三角形（有时是正三角形）和一个正多边形组成的平面图形。等腰三角形的个数与正多边形的边数相等。任何芒星都可以一笔画出，并且起笔点和结束点在同一位置。由五个等腰三角形和正五边形组成的图形叫“五芒星”（俗称：五角星）。由六个等腰三角形和正六边形组成的图形叫“六芒星”……依此类推。所示，其三个尖角之和为1800。其次是四芒星，图案如图3②，四个尖角之和为3600。 五角星就有两种：如图4所示左边为5400、右边为1800. .六角星两种、七角星三种如下：图下是其尖角度数之和。 7200 3600 1800 5400 9000 八角星三种，九角星四种：图下是其尖角度数之和。 3600 7200 10800 12600 9000 5400 1800 十角星四种： 14400 10800 7200 3600 十一角星有五种，十二角星有五种；十三角星六种，十四角星六种…，…。 设多角星的尖角个数为N，观察上述列举结果可知，若N为奇数，则N角星有（N-1）种，其尖角度数之和分别为1800,3×1800，…，…，（N-2）×1800.若N为偶数，则N角星有（N-1）种，其尖角度数之和分别为2×1800,4×1800，…，…，（N-2）×1800.按此规律推算，二十九角星应该有14种，其尖角度数之和分别为1800,3×1800，…，…，27×1800。三十角星也应该有14种，其尖角度数之和分别为2×1800,4×1800，…，…，28×1800。 以上说的N角星都是指正N角星,因为正N角星相邻各顶点所连线段组成的图形都是正多边形，只要画出N角星的外接圆，然后数出每一个尖角的两边与圆的两个交点之间的其他尖角的顶点个数，再利用圆周角的知识很容易求出N角星的尖角度数之和，所以上述结论不证自明。 如果N角星发生了蜕变，即不再是正N角星了，或者说N角星的顶点不一定共圆了，那么，上述结论是否还成立？这时应怎样求N角星的尖角度数之和？这是由前述蜕变的五角星问题引发的第二个思考。由于N角星数量众多，且随着N的增大，尖角个数相同的N角星的种类也会越来越多，所以不能一一列举。下边仅以七角星为例，说明一下多角星尖角度数之和的求法。 七角星有三种，其中最简单的一种其实就是简单的七边形，利用三角形内角和的知识很容易求出其内角和为9