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关于开区间内连续函数最值的判定 朱彩兰 （江海职业技术学院基础部 江苏扬州 225101） 摘 要：由闭区间上连续函数的最值存在定理，讨论开区间内连续函数最值的存在性，并得出几个结论。 关键词：连续 开区间 闭区间 最大值 最小值 中图分类号 O172.1 On how to decide the maximum or minimum of a continuous function in an open interval Abstracts: According to the existence theorem of the maximum or minimum of a continuous function in a closed interval, the potential existence of the maximum or minimum of a continuous function in an open interval is discussed and several relevant conclusion are drawn.. Key words: continuous function, open interval, closed interval, the maximum, the minimum 我们都知道：若在上连续，则在上有界，且存在最大值和最小值。这一最值定理许多教材都予以介绍了，那么当函数在开区间内连续，其最大值和最小值是否存在呢？下面的几个定理将给出答案。 引理：若函数在上连续，则函数在上存在最大值和最小值。 定理1：设函数在内连续，且 ，，则函数在内存在最大值。 证明：因为函数在内连续，又由则 ，使得 ，且必 使得对于 有 ---------------------------------------⑴ （注意 也成立）同理也必 ，使得对于，有 -------------------------------------⑵ （注意 也成立） 又因为 ，所以 函数在闭区间 上连续。根据引理知函数在上必存在最大值。由上述括号内内容知 ， 不可能是函数在 上的最大值，则 使得为函数 在上的最大值。易知 ①若 ，由⑴和 ⑵式得 就是函数在内的最大值； ②若 ，则必有，又由⑴ 和 ⑵ 式得 也是函数在内的最大值。 综上所述，函数在内是存在最大值的。 注意：此时函数在内无最小值，且是无界函数。 定理2：设函数在内连续，且 ，，则函数在内存在最小值。 该定理的证法与定理1相似，读者可以模仿定理1进行证明。另外，此时，函数在内无最大值，也是无界函数。很明显，当函数在内连续，且 ，（或， ）时，函数在内必不存在最值，即既不存在最大值，也不存在最小值。同样，函数在内为无界函数。 那么，在什么情况下使得函数在内为有界函数，且存在最大值和最小值呢？ 定理3：若函数在内连续，若 使得对于 总，不妨设使得： 则函数在内存在最大值和最小值。 这个命题是显然成立的，但“操作性”不强，即不好运用它去判断函数在内的最值存在性，从而“使用价值”不高。下面介绍一个“可操作”的命题。 定理4：若函数在内连续，有 ， （为常数），且方程 和 在内有解，则函数在内存在最大值和最小值。 证明： ，由函数极限的局部有界性知：存在的某一右邻域 （其中 ），对于 有： ， 即函数在上有界， 又 ，由函数极限的局部有界性知：存在的某一左邻域 （其中 ），对于 有 ， 即函数在上有界， 又因为 ，所以 在 内连续，由引理知函数 在 内是有界的，从而在内有界。但是否就存在最大值和最小值呢？假设存在最大值和最小值 ，即函数在 内的值域为。 又因为方程 在内有解，设其最小的解为，即 ，因为函数在上连续，所以，对于 要么 成立，要么成立 。 ①若 成立，又 则最小值 ，从而最小值就不可能在 上取得； ②若成立，则最大值 ，从而最大值就不可能在 上取得。从而可得既不是最大值，也不是最小值。又因为方程 在内有解，设其最大的解为，即，同理可得，最值就不可能在 上取得，既不是最大值，也不是最小值。故其最值只能在上取得，从而函数在内存在最大值和最小值。 说明：①只要函数在处的右极限和处的左极限不是最大值且也不是最小值,则函数在内就一定存在最大值和最小值。 ②是不是函数在处的右极限或处的左极限是最大值且或是最小值,则函数在内最大值和最小值就不能同时存在了呢？也不是这样。 ③定理4也可以通过补充函数在和处的定义，使得函数在和处连续，由引理也可得到结论。 这些若在学生熟练掌握引理后，向学生提