中考数学中的“新定义”.doc

中考数学中的“新定义” 近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析． 一、定义新符号 例l(2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3，[]=l，按此规定[]= 分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵91316，∴34，∴23，∴[]=2．故应填2． 二、定义新数 例2 (2010·杭州市)定义[]为函数的特征数．下面给出特征数为[2m，1一m，一1一m]的函数的一些结论： ①当m= 一3时，函数图象的顶点坐标是()； ②当m0时，函数图象截轴所得线段的长度大于； ③当m0时，函数在x 时，y随的增大而减小； ④当m≠O时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 分析及解答不妨把m= 一3代入知道，= 一6，=4，C=2， ，所以函数图象的顶点坐标是()．①正确排除选项D；由于当m0时，对称轴大于，所以③错误，排除A、C．综上可知，故选B． 三、定义新图形 (1)定义新点 例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系中，对于点P，我们把点P叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…这样依次得到点．若点的坐标为(3，1)，则点的坐标为 ，点 的坐标为 ；若点的坐标为()，对于任意的正整数，点均在轴上方，则应满足的条件为 ， 分析及解答 本题涉及到不等式的解法，规律探索依题意知点的坐标为(3，1)，不难求出(O，4)，(一3，1)，(0，一2)，(3，1)，…可知周期是4．因为2014= 503×4+2，故知点的坐标为(0，4)．若点的坐标为()，对于任意的正整数，点均在轴上方，则，，．因为点的纵坐标都大于零，即列不等式组：0，+10，一+20，一+10，解得一1l，02，故答案依次填： (一3，1)； (0，4)；一1l，02． (2)定义新四边形——“等对角四边形”和“勾股四边形” 例4 (2014·嘉兴市)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°∠B=80°．求∠C，∠D的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形ABCD”(如图2)，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论； ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长． 分析及解答 (1)利用“等对角四边形”的定义加以解决； (2)①利用等腰三角形的判定和性质证明；②利用画图找反例，一目了然； (3)应分类讨论：①如图4若∠ABC=∠ADC=90°；②如图5，若∠BCD=∠BAD=60°．两种情况加以讨论．具体解答如下： 答：(1)如图1，在等对角四边形ABCD中，由于∠A≠∠C，故∠D=∠B=80°， ∴∠C=360°∠A∠B∠D=360°70°80°80°=130°． (2)①如图2，连接BD． ∵AB=AD．∴∠ABD=∠ADB． ∵∠ABC=∠ADC ∴∠ABC一∠ABD=∠ADC—∠ADB， 即∠CBD=∠CDB．∴CB=CD． ②不正确． 反例：如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，而此时BC≠CD． (3)(I)如图4，当∠ABC=∠ADC=90°时，不妨延长BC，AD相交于点E． ∵∠ABC=90° ∠DAB=60°． ∴∠E=30°． ∵AB=5 ∴AE=10 ∴DE=AE一AD=10—4=6 在Rt△CDE中，∠EDC=90°，∠E=30°，故CE=2CD． 根据勾股定理，得， 即，解得CD= 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得，即，解得 (II)如图5，当∠BAD=∠BCD=60°时，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F ∵DE⊥AB，∠BAD=60°，AD=4，知∠EDA=30°， ∴AE=2．DE=∴BE=AB—AE=5—2=3． ∵四边形DFBE是矩形．∴DF=BE=3，BF