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瞬时速度与导数教学案例与设计 临朐一中 胡廷国 【教学目标】 1. 知识与技能：通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； 2. 过程与方法：通过动手计算，培养学生的观察、分析、比较和归纳的意识与能力；通过问题探究，体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思维方法； 3. 情感目标：用运动的观点体会导数的内涵，激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 导数的概念、求函数在某一点处的导数 【教学难点】 从物理（实例）中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，以及函数在开区间内的导函数的理解. 【教学过程】 一、知识回顾、自主学习 1. 函数的平均变化率的概念. 2. 求函数在区间的平均变化率. 3. 计算下表中某运动员在2s~2.1s关于时间间隔的平均速度，并思考题后的问题： 时间区间 时间间隔 平均速度（m/s） [2, 2.1] 0.1 [2, 2.01] 0.01 [2, 2.001] 0.001 [2, 2.0001] 0.0001 [2, 2.00001] 0.00001 ............. ………….. ………….. 观察此表，当时间间隔取一系列越来越小值时，平均速度如何变化？有何特点？ 设计意图：学生通过自学，回顾函数平均变化率的概念；通过对平均速度的计算，初步了解研究瞬时速度的必要性. 二、合作探究 1. 用多媒体展示“自主学习”中问题2、问题3的计算结果，合作学习小组自由发言对问题3思考题的看法. 从这里可以看出，当时间间隔取一系列越来越小值，即当趋向于零时，平均速度趋近于20，从物理角度讲这个值就是运动员在时刻的瞬时速度，引出瞬时速度的概念. 2. 尝试解题 （1）物体作自由落体运动的方程为，其中位移单位为，时间单位为，. 求物体在这段时间里的平均速度及在的瞬时速度. （2）一正方形铁板在时边长为2cm，加热后铁板膨胀. 当温度为时，边长变为cm. 写出铁板面积与时间的关系式，并求铁板面积在温度时的平均膨胀率及在时的瞬时膨胀率. 分别从两个学习小组中选一名同学板演，板演完毕，请其他小组的同学进行评价或改错，并针对出现的问题或错误进行修改. 引导学生总结求瞬时变化率的方法和步骤. 设计意图：使学生进一步理解瞬时变化率的含义及求法，明确平均速度用来刻画某一时间段内的平均速度，瞬时变化率用来刻画每一时刻的速度变化. 三、概念形成 思考：如果将上述例子中的函数用表示，那么函数在处的瞬时变化率又如何表示？ （一）函数在处的瞬时变化率： 函数在处的导数：（给出导数的定义） 思考：在导数的定义中，对自变量有什么要求？、分别是什么样的实数？函数在处的函数值与该点处的导数是否有关？函数的平均变化率、瞬时变化率、导数三者之间是何关系？ 练习： 1. 一直线运动的物体，从时间到时，位移为，则等于 A. 从时间到时，物体的平均速度 B. 在时刻时，物体的瞬时速度 C. 当时间为时，物体的速度 D. 当时间为时，物体的速度 2. 质点运动规律为，求质点在的瞬时速度. 3. 已知函数，求. 设计意图：使学生再次经历引出导数概念的过程，通过解题进一步加深对平均变化率、瞬时变化率、导数概念的理解，并总结利用导数定义求在点处导数的步骤. （二）导函数的概念 定义： 思考：与的关系. 练习：已知函数，求、. 例题 火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s，火箭的运动方程为（其中重力加速度），试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？ 设计意图：巩固求函数导数的方法，初步理解导数的实际意义和应用. 自我小结： 1. 本节课学了哪些新知识？（重点是概念） 2. 在学习过程中使用了哪些数学思想或方法？ 【当堂检测】 1. 已知函数在处可导，且，则等于 . 2. 已知函数. 求：（1）的导数；（2）在的导数. 【课后作业】（略） 1