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《复变函数》期末试卷 单项选择题（每题2分，共20分） 以下命题正确的是 A． B．零的辐角为零 C． D．对任意复数有 [ A ] 2．若，则 A． B． C． D． [ D ] 3．设在区域内解析，则 A． B． C． D． [ B ] 4．下列说法正确的是 A．如果存在，则在处解析 B．如果和在区域内可微，则在区域内解析 C．如果在区域内处处可导，则在区域内解析 D．如果在区域内解析，则在区域内一定不解析 [ C ] 5．下列等式中不正确的是 A． （为整数） B． C． （为整数） D． [ B ] 6．设在复平面内处处解析（其中为常数），则 A． B． C． D． [ C ] 7．设为单位圆周，则积分的值为 A． B． C． D． [ D ] 8．级数的收敛圆为 A． B． C． D． [ A ] 9．是函数的 A．一级零点 B．二级零点 C．三级零点 D．四级零点 [ C ] 10．设则 A． B． C． D． [ D ] 二、填空题（每空2分，共10分） 11． 12．设为包围的任一简单闭曲线，为整数，则 或0 13．的主值等于 14．函数在处的主要部分为 ， 在处的主要部分为 0 解答题 15．讨论函数在原点的连续性与可导性。 解：令，则 因在处连续，故在处连续。 又，故在处不可导。 16．设在区域内解析，且。试证在内必为常数。 证：因在内解析，故 已知等式两边分别对求偏导，并用上式得： 同理可得，故均为常数，进一步有在内必为常数。 17．计算积分，其中为不过和的任一简单闭曲线。 解：①均在的外部，在所围的闭区域上解析，故 ②在内部，在外部，由高阶导数公式 ，其中充分小。 ③在外部，在内部，则 ④均在的内部，由多连通区域上的复合闭路定理得 18．（1）将函数在圆环内展为Laurent级数。 解： 或 （2）求出函数的奇点并判别它们的类型（包含无穷远点）。 所以为的可去奇点（不含负幂项），为的的本性奇点（含无穷多正幂项）。 19．利用留数计算实积分 解： 故 20．设区域内一条正向简单闭曲线，为内一点，如果在内解析，且，在内无其它零点，试证： 证：因以为一级极点，故，在解析， 故