sect;9.3 线性映射的矩阵表示.ppt

由此可知: 取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换σ，都有唯一确定的n阶矩阵A与之对应．这样一来，从L(V)到Mn(F)必然存在着一个对应关系----映射，不妨记为 　　　　　　　 例3 令Ｖ是数域Ｆ上一个n维向量空间，　　　　　　 是Ｖ的一个位似，那么　关于Ｖ任意基的矩阵是 特别地，Ｖ的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩 阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵．　 引言： 　　一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在V中的两个不同基下的矩阵一般不同. 　　为了利用矩阵研究线性变换，显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。 引例：设 ，且 关于基{ ， }的矩阵为 求　关于基 　的矩阵． 分析:本题不能直接用定义做,因 的对应关系不清楚, 由定义是求B使 B， 又由题知 ，而 与 间的关系易得，因而可通过上述已知转化一下。 解：设 B， 因 ，所以 其中 . 于是 问题： 定理3说明， 关于V的不同基的矩阵是相似的；且所有彼此相似的矩阵可看成同一线性变换在不同基下的矩阵。这自然会提出问题： 满足什么条件下，可以并且如何选取V的基，使线性变换关于这个基的矩阵尽可能简单？或曰：方阵满足什么条件时，如何在彼此相似的矩阵中选取一个方阵，使得它最简单？这是因为简单方阵研究起来方便一些。后几节讨论，什么样的方阵与对角方阵相似，进而寻找可逆方T，对给定的方阵A，使得 为对角形。 高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 §9.3 线性映射的矩阵表示 第九章线性映射 一、线性变换的矩阵 现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一个线性变换，取定V的一个基 令 ……………………………………… 设 n 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基 的矩阵. 显然,A的第j 列就是σ(αj)关于基 的坐标. 上面的表达常常写出更方便的形式: (1) 二、 坐标变换 设V 是数域F上一个n 维向量空间, 是V 的一个基, ξ关于这个基的坐标是 而σ(ξ)的坐标是 问: 和  之间有什么关系呢? 设 因为σ是线性变换，所以 （2） 将（1）代入（2）得 最后，等式表明， 的坐标所组成的列是 综合上面所述, 我们得到坐标变换公式： 定理1: 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是V的一个线性变换，而σ关于V的一个基  的矩阵是 如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 ，而σ(ξ)的坐标是 ， 那么 例１ 例２在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令σ是将 的每一向量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一个线性变换.我们有 所以σ关于基 的矩阵是 设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么 三、 矩阵唯一确定线性变换 引理1: 设V是数域F上一个n 维向量空间， 是V的一个基，那么对于V 中任意n个向量 ，有且仅有 V 的一个线性变换σ，使得: 证 设 是V中任意向量.我们如下地定义V到自身的一个映射σ： 我们证明，σ是V的一个线性变换。设 那么 于是 设 那么 这就证明了σ是V的一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求的条件： 如果τ是V的一个