信号与系统3.5-3.6.pptVIP

进一步，若 f(t)为虚偶函数时 从上式可以得出结论: 当f(t)为虚偶函数时，F(w)也为虚偶函数 即 f(t) = f(-t) 又由于 偶函数 实部为0 虚偶信号的频谱具有左右对称的特点. 进一步，若 f(t)为实奇函数时 从上式可以得出结论: 当f(t)为虚奇函数时，F(w)也为实奇函数 即 -f(t) = f(-t) 又由于 奇函数 虚部为0 实偶信号的频谱具有奇对称的特点. 上述讨论的结果如下: f(t) F(ω) 实 一般 实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇 偶 实偶 奇 虚奇 虚 一般 实部奇、虚部偶、幅频偶、相频奇 奇 实奇 当f(t)为奇函数时，F(w)也为奇函数 当f(t)为偶函数时，F(w)也为偶函数 虚偶 偶 例 解 t O f(t) F(ω) t O 例 解 t O f(t) ω O |F(ω)| ω O F(ω) ω O φ(ω) π/2 -π/2 8. 共轭对称性 知识回顾 信号分解： 任何(复)信号都可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和 即 共轭对称： 共轭反对称： 任何(复)信号也可以表示为实部分量和虚部分量的形式 即 其中 知识回顾 同理，任何信号的频谱也可作上述分解： 分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和 即 表示为实部分量和虚部分量的形式 即 其中 共轭对称： 共轭反对称： 共轭对称性 1）信号的实部的傅里叶变换 等于该信号傅里叶变换的共轭对称部分 信号虚部的傅里叶变换乘以j 等于该信号傅里叶变换的共轭反对称部分 2）信号的共轭对称部分的傅里叶变换 等于该信号傅里叶变换的实部 信号共轭反对称部分的傅里叶变换 等于该信号傅里叶变换的虚部乘以j 时域和频域关于实部、虚部与共轭对称、共轭反对称之间的关系： 箭头代表互为傅里叶变换对 若信号为实函数，则 所以对于实信号，其频谱具有共轭对称性 证明：1) 证明：2) 则有 9. 微分特性 ① 时域微分特性 或记作 或记作 推广： 则有 ② 频域微分特性 或记作 或记作 推广： 前提：当|t|?∞ 时，f(t)?0 证明： ① 两边对t求导，得 由上式可得 以此类推 说明： 在时域对信号求n阶导数 等价于 在频域中频谱F(w)乘以(jw)n 简化运算 系统频域分析的基本出发点 频域微分性质的证明方法类似，自行证明 解： 例 求三角脉冲信号f(t)的傅里叶变换（频谱） t 2p/t -2p/t 从图可以看出，三角脉冲信号f(t)的导数是2个矩形脉冲之和 例 求三角脉冲信号f(t)的傅里叶变换（频谱） 注意：当已知f(t)的导数的频谱时可用微分性； 方法2： 10. 积分特性 则有 ① 时域积分特性 证明： 若F(0)=0，则上式可化简为 说明： 如果信号积分的频谱存在，则它等于该信号频谱F(w)除以(jw) 即 信号在时域积分 等价于 在频域中该信号频谱F(w)除以(jw) 推广： 则有 ② 频域积分特性 证明从略 例2： 例1： 解： 上述2题均不能使用微分性质来求解！为什么？ 3.6 卷积定理 —— 亦可看作是傅里叶变换的性质之一 卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系， 在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值。 一. 时域卷积定理 若 则 若 则 证明： 说明： 两信号在时域卷积的频谱等于两信号频谱在频域的乘积。 * 信号与系统 哈尔滨工业大学（威海）信息与电气工程学院 通信工程系 3.5 傅里叶变换的性质 第三章 连续时间信号与系统的频域分析 唯一性 线性性质 对偶性 尺度变换性 时移特性 频移特性 奇偶虚实性 共轭对称性 微分特性 积分特性 1. 唯一性 傅里叶变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系。 ！ 证明 推论 2. 线性 若 则 若 则 相加信号频谱＝各个单独信号的频谱之和 线性 = 齐次性 + 叠加性 求 f(t) 的傅里叶变换 例 解 （频域、时域呈现的对应关系） 若 则 证明 3. 对偶性 进一步，若 为偶函数，则 将变量t与ω互换，得到 则 所以 如冲激函数和矩形函数的频谱的对称性就是一例子： （1）冲激函数 ！ 若 为偶函数，则