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第十章非线性方程的解法 计算物理 Methods for solving non-linear equations 问题的引入： 函数方程 f（x）=0 (1) 若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方程 , 特别 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或代数方程；若f(x)是超越函数，则称(1)为超越方程。 理论上已证明，对于次数n=4的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方程,它的根一般不能用解析表达式表示. 问题的引入： 因此，对于f(x)=0的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。 常用的求根方法分为对分区间法和迭代法两大类。 求根方法中最直观最简单的方法是二分法。 求根包括如下三问题： 1、根的存在性： 即，有无根？根在何处？ ?根的存在定理： 假设函数y=f(x),x??a,b?,且f(a)·f(b)0, 则至少存在一点x ??a,b?使得f(x )=0,这就是根的存在定理。 2、根的范围： 即，求出有根的区间或平面。 可用作图法或逐步有哪些信誉好的足球投注网站法来获取。 3、根的精确化： 即，将根的近似值精确到足够精确。可采用对分法、迭代法等。 x b a 函数方程 ?(x)=0 的解通常称为方程的根或函数?(x)的零点，特别地，如果函数?(x）可分解为 ?(x)=（x??）mg(x)且g(? )?0, 则称?是?(x)的m重零点或?(x)=0的m重根。当m=1时，称?是?(x)的单根 或单零点。 §1、求实根的对分区间法 一、基本思想： 对分法就是将方程的有根区间对分,然后再选择比原区间缩小一半的有根区间,如此继续下去,直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。 二、具体做法： 二、具体做法： 有根区间 有根区间 二、具体做法： 以上方法就是用于求非线性方程实根近似值的对分法。 三、如何用对分法求[a,b]中的所有单实根： －有哪些信誉好的足球投注网站法 四、对分法的优缺点 1、 优点：计算过程简单,程序容易实现.可 在大范围内求根。 2、 缺点：该方法收敛较慢,且不能求重根和复根,一般用于求根的初始近似值,而后在使用其它的求根方法。 五、例题： 求方程 f(x)= x 3 –e-x =0 在[0,1]中的一个实根。 应注意在计算中步长h要适当,若h过长则容易丢根(若在区间范围内有两相邻函数值符号相同而判定无根),若间隔h值太小,则影响计算速度。 五、例题： 解： 因为f(0)0,f(1)0，故f(x)在(0,1)内有根，用二分法解之，(a,b）=（0,1) 计算结果如表： k ak bk xk f(xk)符号 0 0 1 0.5000 － 1 0.5000 1 0.7500 － 2 0.7500 1 0.8750 ＋ 3 0.7500 0.8750 0.8125 ＋ 4 0.7500 0.8125 0.7812 ＋ 5 0.7500 0.7812 0.7656 － 6 0.7656 0.7812 0.7734 ＋ 7 0.7656 0.7734 0.7695 － 8 0.7695 0.7734 0.7714 － 9 0.7714 0.7734 0.7724 － 10 0.7724 0.7734 0.7729 ＋ 取x10= 0.7729，误差为| x* -x10|=1/211 。 小结 §1、求实根的对分区间法 函数方程 f（x）=0 (1) §2.迭代法 一、基本思想： 对于 f（x）=0 (1) 若 二、具体做法： 二、具体做法： 若 三、几何意义： 是抛物线函数 Xn+1 Xn A 例如： O 四、收敛问题： x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y=g(x) y=g(x) y=g(x) y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 四、收敛问题： 例1. 显然不