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一、引入主元素法的原因 第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯主元素法 二、完全主元素消去法 三、列主元素消去法 一、引入主元素法的原因 举例 用高斯消去法解方程组 用四位浮点数进行计算，精确解舍入到4位有效数字为 解： ［方法１］用高斯消去法求解 计算解为 与精确解相比 显然计算解　是一个很坏的结果，不能作为 方程组的近似解，其原因是： 我们在消元计算时用了小主元0.001，使得约化后的方程组元素的数量级大大增长，使得在计算中发生严重的舍入误差，因此产生了较大的误差！ ［方法2］交换行，避免绝对值小的主元素作除数 改进措施： 对一般矩阵，最好每一步选取系数矩阵（或 消元后的低阶矩阵）中绝对值最大的元素作 为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值 稳定性！ 得计算解为 本例启发： 在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产 生麻烦，故应避免采用绝对值小的主元素。 主元素法 全主元素 列主元素 2. 完全主元素法 设增广矩阵为 第一步：首先在A中选取绝对值最大的元素作为主元素；然后交换到第一行、第一列的位置；再进行第一次消元，得矩阵 (A | b)→(A(2) | b(2)) (1) 消元过程 第 k 步：在矩阵A(k)的右下方(n-k+1)阶子矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素；并通过行与列的互换将它换到第k行第k列的位置，然后进行第k次消元，得矩阵 (A(k) | b(k)) → (A(k+1) | b(k+1)) 第 n-1 步：经过n-1次消元，将原方程组化为 其中y1,y2,…,yn为未知数x1,x2,…,xn调换后的次序。 (2) 回代过程 完全主元素消去法的缺点： 在选主元素时要花费较多机器时间。 时时纪录x顺序的变化情况 3. 列主元素消去法 选主元时仅考虑按列选取，然后换行使之变到主元位置上，再进行消元计算。 设用列主元素消去法已完成 k-1 步，即有 第 k 步：在矩阵A(k)的第k列方框内选取绝对值最大的元素作为主元素；并通过行的互换将它换到第k行的位置，然后进行第k次消元，得矩阵 (A(k) | b(k)) → (A(k+1) | b(k+1)) 列主元消去法的特点： （1）能够得到较高精度要求的 解 ； （2）计算量大大减少