RC, RL, LCR电路讲义： .doc

RC, RL, LCR電路講義： 1.複數z和相子(phasor)： 複數在直角座標系的表示法是： z=x+jy (1) x稱為實部，jy稱為虛部，x和y為實數，，z則是複數。 若以極座標方式來表示，則 (2) 其中，?(為輻角)。若x為正實數則z在第一和第四象限，則 (3) 若x為負值則z在第二和第三象限，則 (4) 另一種有用的複數表示方法，稱為尤拉表示式，即 (5) 上式明顯地較極座標表示方便了許多。由(1)，(2)和(5)式知複數z可以表示成： (6) 複數的加(減)時，要先簡化成直角座標表示後，實部與實部，虛部與虛部相加(減)後即可，而相乘或相除，則以尤拉表示式運算較方便，例如 (7) 同理 (8) 複數在正弦或餘弦交流電路的運算分析中，是一個非常簡單且有利的工具，而在電路中以複數所表示的電壓、電流等物理量，我們通稱之為相子(phasor)，例如交流電壓 (9) 而相子定義成： (10) 如下圖所示左邊是由相子所組成的相位圖，而右邊是電壓隨時間演變的情況。 　 　 相位圖使得交流電的運算方便了許多，下面的例子就是一個很好的證明。在如下的相圖中，標試著兩個相子；和。 其中，而，當要計算時，則由相位圖可以很容易求出： (11) 另一種方法是直接由相子的相減得到(11)式的結果。 2.交流電路中電流與電阻、電感、電容的相位關係： 如圖四所示，交流電流流經一電阻R。 　 　 a b兩端的電壓降為VR=IR，得 (12) 很明顯地上圖中的電流與電阻是同相位的，也就是沒有相位差的意思。在圖五中表示出電流與電阻的相位關係。 (12)式也可以用相子表示，即 (13) 第(13)式的虛部部份就等於第(12)式。交流電路中電感的效應與電阻不同，如圖六所示，交流電流流經一電感L。 ? 由法拉第定律，知通過電感a b兩端的電壓降為VL=，故得 (14) 很明顯地上式中的電流與電感的相位差是90o，而且是電感的相位超前電流90o。在圖七中表示出電流與電感的相位關係。 　 第(14)式也可以用相子表示之即 (15) 第(15)式和(13)式對照後，可以發現j?L就相當於電路中的電阻R，事實上j?L就稱之為電感的電抗，以符號XL表示，而複數j表示電感所造成之電位較電流領先90o。第(15)式的虛部部份就等於第(14)式。 　 另一個在電路中，除了電阻，電感外另一常見的基本元件是為電容C。在圖八交流電路中I=I0sin?t，則電容a b兩端的電位差(或稱電壓降)，VC等於電荷Q除以電容C。 (16) K表常數與t=0時的初始條件有關，我們可以令其為零，則 (17) 由第(17)式知電容的相位較電流的相位落後90o。圖九中畫出電流和電位的相位關係。 　 　 　 第(17)式也可以用相子表示之，即 (18) 而是由電容所造成的電抗(reactance)，XC複數，表示電容所造成電壓的相位較電流的相位落後90o。第(18)式的虛部部份就等於第(17)式。 3.阻抗Z(Impedance)： 交流電路中的阻抗，是一個複數。例如一簡單的RC串聯的交流電路中阻抗Z就等於電阻R與電抗Xc的和，即Z=R+ Xc也就是 (19) 當交流電流流過R和C串聯的電路時，總電壓降VT等於電阻所造成的電壓降和電容所造成的電壓降之和，即 (20) 若以相子表示時 (21) 則被稱之為此電路之阻抗。同理在RL串聯的交流電路中，阻抗可以寫成 Z=R+j?L (22) 而且在此電路中，總電壓降就等於電阻所造成的電壓降加上電感所造成的電壓降，即 (23) 若以相子表示則： (24) 由上述的簡單討論在(22)和(24)式中，阻抗就和歐姆定律中的電阻相類似，R是電壓和電流的比值，而阻抗是電壓相子和電流相子的比值。 當R,L,C三者串聯時，此電路之阻抗Z就可以寫成 (25) 而且電阻、電感和電容所產生的電壓相位關係，即各相子間的關係，如下圖(圖十)所示。 　 　 而相子間的關係式可以寫成下式： (26) 如圖十一所示。表示流電流與電壓間的相位角度關係，可以表成 (27) 　 　 4. 均方根值(RMS)平均功率和功率因子： 交流電路的瞬時電流可以寫成I=I0sin?t，提供此電流的瞬時電壓就可以是： V=V0sin(?t+) (28) 其中?是指電流和電位間的相位差。例如跨接電阻的兩端則相位? =0。則瞬時電阻所消耗的功率P是 (29) 而平均所消耗的功率等於上式，在一個週期內的平均值，也就是 (30) 其中Irms就是電流的均方根值，(或是有效值)，也就是平方的平均值開根號的意思，即 (31) 其中：? 故?(32) 另一種解法： cos2?+sin2?