23.(11分)如图,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)..doc

23．（11分）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？ ②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 23．解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为． 把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得 故抛物线解析式为，顶点为 （2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 ， ∴y0，即 －y0,－y表示点E到OA的距离． ∵OA是的对角线， ∴． 因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的 取值范围是1＜＜6． 根据题意，当S = 24时，即． 化简，得 解之，得 故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形． 当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使为正方形． 23、（本题满分11分） 如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当=O和=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。 (1)求这条抛物线的解析式； (2)P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； (3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由； (4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。 23.(本小题满分11分) 解：（1）∵当和时，的值相等，∴，……1分 ∴，∴ 将代入，得， 将代入，得………………………………………….2分 ∴设抛物线的解析式为 将点代入，得，解得. ∴抛物线，即……………………………..3分 (2)设直线OM的解析式为，将点M代入，得， ∴……………………………………………………………………..4分 则点P,,而,. =.......................5分 的取值范围为：＜≤.......................................6分 (3)随着点的运动，四边形的面积有最大值. 从图像可看出，随着点由→运动，的面积与的面积在不断增大,即不断变大，显当然点运动到点时，最值...............7分 此时时，点在线段的中点上............. ................8分 因而. 当时，,∥,∴四边形是平行四边形. ..9分 (4)随着点的运动，存在，能满足.................10分 设点，，. 由勾股定理，得. ∵,∴，＜，(不合题意) ∴当时，...................................11分 23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值. 23.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4 ∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分 （2）