2015年荐《计算机数学基础》数值部分第三单元辅导.doc

《计算机数学基础》数值部分第三单元辅导 一、重点内容 1. m次代数精度 求积公式 对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立, 而至少有一个m+1次代数多项式不成立, 称该求积公式具有m次代数精度。 2. 牛顿－科茨求积公式： ((b－a) .(k=0,1,2,…,n)是牛顿－科茨求积公式的系数，是科茨系数，有 (k=0,1,2,…,n)，有两条性质： ①归一性，；②对称性(k=0,1,…,n) 牛顿－科茨求积公式的截断误差 Rn(x)= 3. 常见牛顿－科茨求积公式 梯形公式： 截断误差： R1[f]=－ () 截断误差： ， M2＝ 抛物线公式 复化抛物线公式 其中 截断误差： (RN[f](， (, N=n=2m) 科茨公式 3．高斯(勒让德求积公式 , 2n+1次代数精度。 节点为 的零点(高斯点) 其余项： 4. 微分公式 (1)等距节点两点求导公式： (2)等距节点三点求导公式 (k=1,2,…,n-1) 二、实例 例1 试确定求积公式的代数精度。 [依定义，对xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值] 解 当f(x)取1,x,x2,…时，计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f(x)=1,有 左边＝, 右边＝ (2) 取f(x)=x,有 左边＝, 右边＝ (3) 取f(x)=x2,有 左边=, 右边= (4) 取f(x)=x3,有 左边=, 右边= (5) 取f(x)=x4,有 左边=, 右边= 当k(3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。 例2 试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分 (计算结果取5位有效数字) (1)用梯形公式计算 (2) 用抛物线公式 (3)用科茨公式 系数为 ＝ 如果要求精确到10－5， 用复化抛物线公式，截断误差为 (RN[f](， 15 , N(2 () 只需把[0.5,1]4等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1 例3 用三点高斯－勒让德求积公式计算积分 [高斯型求积公式只能计算[－1,1]]上的定积分] 解 做变量替换， ＝ 查表得节点(0.774 596 669 和0；系数分别为0.555 555 5556和0.888 888 8889 ＝ +0.888 888 889× ＋ ＝ ＝0 注：该积分准确到小数点后七位是0.9460831，可见高斯型求积公式的精度是高的。教材的第12章12.2节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比较。 例4 用三点公式计算在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。已知函数值 f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206 612 解 三点导数公式为 k=1,2,3,…,n－1 本例取x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612,h=0.1。于是有计算 例5 试确定求积公式中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。 解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有 ,即h=h , 不能确定a，再令f(x)=x2, 代入求积公式，得到 ,即 得. 求积公式为 将f(x)=x3代入上求积公式，有 可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有 所以该求积公式具有三次代数精度。 例6 选择填空题 1. 牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。 解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 2. 若用复化梯形公式计算定积分,要求截断误差的绝对值不超过0.5×10－4，试问n(( ) (A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 40 答案：(A) 解答；复化的梯