蝴蝶效应之延续----临界状态(生活背後的数学模式).pdfVIP

作者：林江老師 11 – 5 – 06 蝴蝶效應之延續 臨界狀態 (生活背後的數學模式) 談到「混沌理論 chaos 」，總是離不開「蝴蝶效應 butterfly effect 」。可惜一般人對「蝴蝶效應」都有誤解，以為 當一隻蝴蝶在香港舞動翅膀，可能導致美國在數週後下起大雷雨。事實上，蝴蝶舞動翅膀並不是導致大雷雨的主因， 它只是一個導火線。「蝴蝶效應」真實版本是要說明當蝴蝶舞動翅膀所產生的氣流，會迅速改變未來的細節 (如空氣 分子的位置或速度) ，從而變得跟蝴蝶沒有拍打翅膀時的情況不同，因此「混沌」並非解釋大雷雨形成(劇變)的答案。 哪麼是什麼原因導致大雷雨這類的劇變發生？ 在上一篇有關「小世界理論」的文章中我所介紹的維吉尼亞大學的物理學家 Mark Buchanan ，在他另一著作 《Ubiguity : Why Catastrophes Happen ？》中揭示了延續「混沌」的新理論 「臨界狀態 critical state 」。 所謂的「臨界狀態」就是指一個系統處於平衡與非平衡之間的狀態，就好像一個足球放在尖形屋頂的頂端，足球隨時 會滾向左邊，但也有相同機率滾向右邊，但在事前就是無法預測它會滾向哪一邊。「臨界狀態」實質上是屬於「非平 衡物理學non-equilibrium physics」，或說是新興「複雜理論complexity 」的第一個產物。在非平衡的狀態下， 由事物所形成的交互作用系統經常存有一種自然的數學模式 「冪次定律power law」。「冪次定律」是兩個變 數之間的數學關係，不是正比，亦非反比，而是一種指數次方的關係，例如： f = v -2 從以上公式可看到「f 」與「v」兩個變數之間存有「-2」次方的冪次定律，而任何出現「冪次定律」的系統，都會存 有「臨界狀態」。在稍後的篇幅將會看到這種冪次定律的數學模式經常會出現在我們的日常生活當中，無論是流動沙 堆、股票市場、森林大火、地震模式、人口分佈以及是歷史本身，都會找到冪次定律的蹤影。 1 作者：林江老師 11 – 5 – 06 堆沙遊戲 1987 年，三位物理學家Per Bak 、Chao Tang 及Kurt Weisenfeld 想知道如果有人每次把一粒沙撒在桌面上，最 後形成出來的沙堆將會有何特性。他們利用電腦模擬來做研究，發現當沙堆累積到足夠高的時候，沙堆的斜坡面將會 處於「臨界狀態」，即使是一小粒的沙粒落在這個斜坡面上時，都會造成一次大規模的沙崩，而使沙堆的高度再次變 小。不過，當不斷再添加更多沙粒時，沙堆又再次變高，而斜坡面亦再次趨向「臨界狀態」，形成一種沙堆變大變小 的交替模式。而沙堆自動趨向「臨界狀態」的特性被稱為「自組臨界狀態」。但最驚人之處卻是這三位物理學家在堆 沙遊戲中竟然發現「冪次定律」，就是每當在沙崩中被牽動的沙粒數目增為2 倍時，出現這類沙崩的次數將會降為 1 / 2.14 ，數學表達即是： f = N –1.1 f 為出現沙崩的次數 N 為沙崩中被牽動的沙粒數目 這種沙堆的「冪次定律」告訴我們，任何規模的沙崩都有可能發生，只是小規模比大規模的發生較多，而且任何規模 的沙崩都是由同一個原因引發 一粒小沙。因此並不是有什麼特別因素導致大規模沙崩，無論是大規模還是小規模 都是尋常的事。大規模沙崩只是小規模沙崩的放大版本罷了，因此「冪次定律」正暗示著一種「自我相似性 self-similarity 」，也就是數學裡的「碎形fractal 」。在堆沙遊戲中我們再次看到「冪次定律」與「臨界狀態」的親 密關係。 堆沙遊戲最諷刺的地方是真實的沙堆並不符合「冪次定律」，因為那三位物理學家在設定電腦程式時，高估了沙粒的 黏性，因此出來的結果並不適用於沙粒，反而適用於黏性較高的米粒。 蕃薯實驗 1993 年三位來自南丹麥大學的物理學家以真實的實驗來重複堆沙遊戲，但今次用的不是沙粒，而是蕃薯。他們把冰 凍了的蕃薯用力丟向牆壁，凍蕃薯應聲碎裂成很多的碎塊，有大有小。他們細心檢視這些碎塊，按重量把碎塊分成數 堆。最後他們也發現當中的「冪次定律」，就是每當碎塊重量增為2 倍時，出現這類碎塊的數目將會降為 1 / 6 ，數 學表達即