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探索与猜想 猜想是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中的一种创造性思维。“观 察、归纳、猜想”型探索性问题，使学生以“数学家”的角色，置身于猜想、发现 的情境之中，这类问题对开拓思维，培养创新意识和探索能力大有裨益。 例1 根据题意，完成下列填空： 图1 如图1， 与 是同一平面内的两条直线，它们有一个交点。如果在这个平面 l l 1 2 内，再画第3 条直线 ，那么这3 条直线最多可有___个交点；如果在这个平面 l 3 内再画第4 条直线 ，那么这4 条直线最多可有___个交点；由此我们可以猜想： l 4 n n 在同一平面内，6 条直线最多可有___个交点。 （为大于1 的整数）条直线最 n 多可有___个交点。（用含 的式子表示）。 解：（1）画图观察 n 2 n 3 n 4 n 5 a 1 a 3 a 6 a 10 2 3 4 5 图2 （2 ）列表归纳 直线条数n 2 3 4 5 6 … n 增加点数 1 2 3 4 5 … n 1 点的个数a 1 3 6 10 15 … ？ n （3 ）归纳与猜想：当n 2 时，a2 1； 当n 3 时，a3 3 12 ； 1 / 3 当n 4 时，a4 6 12 3 ； 当n 5 时，a5 10 12 3 4 ； n 于是，可猜想 条直线最多可有交点个数为： 1 an = an1 + (n 1) =1+2+3+4+…+(n 1) = n(n 1) 。 2 1 我们不妨验证一下公式的正确性，当n 5 时， n(n 1) =10 ，与上面得到的 2 结果是一致的！ 1 n 于是，当 =6 时， n(n 1) =15 个交点。 2 a b 例2 如图3，两条直线 、 相交于点O，共可组成4 对对顶角．如果经过 c 点O 再画第三条直线 ，那么这三条直线共可组成___对对顶角；如果经过点O 再 d n 画第四条直线 ，那么这四条直线共可组成___对对顶角．由此我们可以猜想：