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巧在本质关系的揭示妙在深层结构的接近(下).pdf
维普资讯 12 中 等 数 学 巧在本质关系的揭示 妙在深层结构的接近(下) 罗 增 儒 (陕西师范大学数学系,710062) n6与n+6是同类项,也可能忘了 +1=1 3 怎样获得巧思妙解 要洞察问题的深层结构、获得巧思妙解, 与(n一1)(b一1):1等价.为了排除形异对 并不是那么容易的,但也不是不可能的.在 值同的干扰,作变换 n:1+ (0),于是, 此,提两条建议. 6:1+1 . 这样一来,n、6就 自动包括上述 3.i 从条件、结论入手,接近深层结构 n、b之间的关系,从而得到新的证法. 问题的深层结构当然包括条件的结构、 证法 l:设 n=1+ (0). 结论的结构,但更重要的是条件与结论整合 后的结构.如果不能一眼看透 “条件与结论” 由丢+丢=1,得6=1+.于是, 的深层联系,可以分别剖析条件、剖析结论, (n+b)一n一b 以此作为寻找它们之间联系的突破 口. 例5 已知n、b为正实数,且 +{=1. = [(1+)+I+})]一(1+)一I+}) 试证:对每一个 n∈N+,都有 = [(1+)(1+})】一(1+)一I+}) (n+b)一n 一b≥27一2 . (1988,全国高中数学联赛) = [(1+)一1][(1+)一1】一1 现在来分析条件、结论,以找出条件与结 = (c +c +…+ )· 论之间新的联系. (c+c:1+…+ )一 条件 +T1=1是什么意思?在标准答 n D ≥(C + +…+ )一1 ① 案 】们『中看到: = (2一1)一1=22一2 . ab:n+b. 证法 1只在式①处用到了柯西不等式, ab=(n+6)(丢+1)≥4, 其余步骤全是恒等变形,从而,更反映了题 目 从等式条件到不等式结论的整体结构.其中, 还可以继续给出 (n一1)(b一1)=1= +÷, (1+)+f1+11:(1+)+ : (1+)f1+11, 用这些关系去与结论沟通,既存在用哪 正 口+6:n6. 个、不用哪个的选择问题,又存在 “形异”对 “值同”的干扰问题.比如,在运算中会忘了 而 丢·=1,则是(。一1)(6—1)=1. 收稿 日期:2OO6—09—18 再看结论 。若用条件 ab:n+b。则
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