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维普资讯 12 中 等 数 学 巧在本质关系的揭示 妙在深层结构的接近(下) 罗 增 儒 (陕西师范大学数学系，710062) n6与n+6是同类项，也可能忘了 +1=1 3 怎样获得巧思妙解 要洞察问题的深层结构、获得巧思妙解， 与(n一1)(b一1)：1等价．为了排除形异对 并不是那么容易的，但也不是不可能的．在 值同的干扰，作变换 n：1+ (0)，于是， 此，提两条建议． 6：1+1 ． 这样一来，n、6就 自动包括上述 3．i 从条件、结论入手，接近深层结构 n、b之间的关系，从而得到新的证法． 问题的深层结构当然包括条件的结构、 证法 l：设 n=1+ (0)． 结论的结构，但更重要的是条件与结论整合 后的结构．如果不能一眼看透 “条件与结论” 由丢+丢=1，得6=1+．于是， 的深层联系，可以分别剖析条件、剖析结论， (n+b)一n一b 以此作为寻找它们之间联系的突破 口． 例5 已知n、b为正实数，且 +{=1． = [(1+)+I+})]一(1+)一I+}) 试证：对每一个 n∈N+，都有 = [(1+)(1+})】一(1+)一I+}) (n+b)一n 一b≥27一2 ． (1988，全国高中数学联赛) = [(1+)一1][(1+)一1】一1 现在来分析条件、结论，以找出条件与结 = (c +c +…+ )· 论之间新的联系． (c+c：1+…+ )一 条件 +T1=1是什么意思?在标准答 n D ≥(C + +…+ )一1 ① 案 】们『中看到： = (2一1)一1=22一2 ． ab：n+b． 证法 1只在式①处用到了柯西不等式， ab=(n+6)(丢+1)≥4， 其余步骤全是恒等变形，从而，更反映了题 目 从等式条件到不等式结论的整体结构．其中， 还可以继续给出 (n一1)(b一1)=1= +÷， (1+)+f1+11：(1+)+ ： (1+)f1+11， 用这些关系去与结论沟通，既存在用哪 正 口+6：n6． 个、不用哪个的选择问题，又存在 “形异”对 “值同”的干扰问题．比如，在运算中会忘了 而 丢·=1，则是(。一1)(6—1)=1． 收稿 日期：2OO6—09—18 再看结论 。若用条件 ab：n+b。则