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生物医学电磁逆问题的非适定性研究 赵翔，黄卡玛，陈星，闫丽萍 四川大学无线电系 摘要：意义：生物医学成像对于医学诊断与治疗有着重要作用。从实质来看，成像问题是一种逆问题， 而逆问题大都是非适定的。因此，研究成像算法常常会面临求解病态系数矩阵的线性方程组的问题。事实上， 这一困难是无法克服的，除非增加更多关于解的有效信息。对此，Krisch强调指出：信息的缺乏不可能由 任何数学上的技巧来弥补。要对一般逆问题进行概括性的研究，必须采用数学的语言来描述。方法：我们就 常见逆问题给出统一的数学描述，对稳定性问题进行初步分析，阐明正则化方法的基本原理，用Tikhonov 正则化方法求借一个具体实例。结果：稳定性依赖于空间的拓扑性质。通过正则化方法，我们可以获得稳定 的近似解。另外正则化参数a存在一最优值。讨论：完善逆问题的数学分析尤其是非适定性的研究对于各类 成像方法特别是成像算法有着重要的理论和技术上的指导作用。 引言 生物医学成像对于医学诊断与治疗有着重要作用，其原理大多是利用某种“波”(如电磁波、超声波等) 入射被测物体，接收由物体引起的各种反射、折射“波”，并由这些信息推知被测物体的大小、组成等信息。 从实质来看，成像问题是一种逆问题，而相应的正问题是：已知物体的大小、组成等信息，求由物体引起的 各种反射、折射“波”等。通常正问题比逆问题被人们研究得更早也更透彻，但它们之间有更重要的实质性 必需具备存在性、唯一性和稳定性的特点，则这样一个问题是适定的；反之，若失去其中任何一个特点则是 非适定的，实际上是不可解的。从目前来看，正问题都是适定的，而相应的逆问题大都是非适定的。通常我 们可以通过增大或减小解空问来使存在性和唯一性得到满足。相比之下，满足稳定性更加困难而重要。实际 问题中，测量和计算误差不可避免，没有稳定性就意味着误差可能无法控制地被放大，最终计算结果将与准 确解相去甚远而没有任何意义。事实上，这一困难是无法克服的，除非增加更多关于解的有效信息，例如其 导数光滑、有界等等。对此，Krisch强调指出：信息的缺乏不可能由任何数学上的技巧来弥补。要对一般 逆问题进行概括性的研究，必须采用数学的语言来描述。 常见逆问题的数学描述 7 设Zy为赋范空间，4 题；反之，给定五求，为相应的正问题。如前所述，存在性和唯一性仅与空间及算子的代数性质有关，如 7 算子是否是一对一的；而稳定性还依赖于空间的拓扑性质，即逆算子仃1 j，一J是否连续。此外，这些性质 之间并不是无关的，例如：若算子A是线性连续算子，且Zr为Banach空间，则逆算子币’是连续的(开映 象定理)。下面是一个通过改变空间的拓扑性质从而恢复稳定性的例子。 算子Ⅳ?C[O，1]一C[O，1]定义为 ￡∈[o，1]，对xEc[o，1] (缸)(f)=jx(s)ds=y(r)， 0 而解J的误差为1／6(根据范数…。)，则该逆问题不具稳定性。此时，我们定义另一个函数空间 的算子Ⅳ有界可逆，则修正后的逆问题适定。 19 第二届电磁辐射与健康国际研讨会 正则化万珐 在实际问题中，我们并不知道方程月j可右端的准确值Y，只知道含有误差的值y6(通常由测量或计算 获得)及误差范围JO，即 1ly-Y6忙万 问题变成求解扰动后的方程 Ax6=Y6 7月(m—J构造一个的恰当的有界近似算子肌卜上。具体地说，是构造 于y5，即我们要为无界逆算子丌1 似解。设 X86=KdY6 是Ax=y的解z的一个近似解。运用三角不等式，两者之间的误差可分为两部分： |k。4一xl-IIKoy5一K。YII+IIK。y—z8