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维普资讯 中学数学杂志(高中) 2007年第3期 “共线向量定理”在解题中的应用 山东省济宁市实验中学 272100 赵玉华 近几年的高考试题，很多都是以向量知识 解之得A=一1，Y=一8． 为背景，与三角函数、数列、解析几何、立体几何 等知识交汇的综合性问题 向量作为数学的一 3 利用共线向量定理解答定点(值)问题 种工具，在中学数学解题中的作用越来越被人 例3 过AABC的重心任作一直线分别 们所重视 本文就 “共线向量定理”在解题中的 交边AB、AC于点D、E若A = AB， = 应用加以探究，不妥之处敬请同行斧正’ )，A—C )，≠O，求证：l +l是定值 ， 1 利用共线向量定理证明(或判断)三点共线 例 1 设m≠0，且m≠一1，求证： A(m，6)、日m，1)、c(一1，一 )三点共线． 证明 因为 ：(一1一m，一6 6) ： (一(1+m)，一 )， A—B =： ((一一二m，一5)，所 以A—C ： ， 一 5)，所 以 = 证明 如图1，设AABC的重心为G，连 鱼! 上磕 因为D、G、E三点共线，所以 ：A赢 ， 又因为m ≠0且m≠一1． 所以A———G—= (1一A)A——D——+AA——E—+． 又因为A——_D+= A——_B+，A——_E+=YA——_C， 所以 ≠0． 所以 ： (1一A) +Aya--d． ① 又因为A 与A 有公共点A， 又因 =了2Ac*，=了1【*+ ) ． ② 所以A、日、C三点共线． 2 利用共线向量定理解答定比分点问题 且 ，a--d不共线， 例2 已知两点 P。(一1，一6)、P2(3， 0)，求点P(一÷，)，)分有向线段P。所成的 … 叫 ， 比A及Y的值． 解 由题意知P。 =AP ， f ：3(1一A)， 即(一÷，Y+6)=A(孚，一)，)， 解之得JIl ：3A． 所以，，j-一『丁导：了A，， ① 所以 +l ：3 ． )【，+6=一A ② 维普资讯 中学数学杂志(高中) 2007年第3期 55 4 利用共线 向量定理证 明直线与直线平 例5 如果AABC三边的长口，6，C成等 行、直线与平面平行、平面与平面平行 差数列，且abc，G为