【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题五 第二讲.docVIP

第二讲　空间点、直线、平面的位置关系 1．点、线、面的位置关系 (1)公理1　∵A∈α，B∈α，∴ABα. (2)公理2　∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面． (3)公理3　∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l. 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面． ②过两条平行直线有且只有一个平面． ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面． (4)公理4　∵a∥c，b∥c，∴a∥b. (5)等角定理　∵OA∥O1A1，OB∥O1B1， ∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°. 2．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理　∵aα，bα，a∥b，∴a∥α. (2)线面平行的性质定理　∵a∥α，aβ，α∩β＝b，∴a∥b. (3)面面平行的判定定理　∵aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理　∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b. 3．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理　∵mα，nα，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α. (2)线面垂直的性质定理　∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. (3)面面垂直的判定定理　∵aβ，a⊥α，∴α⊥β. (4)面面垂直的性质定理　∵α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l，∴a⊥β. 4异面直线所成的角 (1)定义． (2)范围：θ∈(0，]． (3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角． 5直线与平面所成的角 (1)定义． (2)范围：θ∈[0，]． (3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得． 6二面角 (1)定义． (2)范围：θ∈[0，π]． (3)找二面角平面角的方法 ①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法． 垂线法是最重要的方法，具体步骤如下： ①弄清该二面角及它的棱． ②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)． ③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角． ④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小． 1． (2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是(　　) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案　A 解析　B、C、D选项是公理． 2． (2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥n C．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案　D 解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故D正确． 3． (2013·山东)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图所示：SABC＝×××sin 60°＝. ∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝×OP＝，∴OP＝. 又OA＝××＝1， ∴tan∠OAP＝＝，又0∠OAP， ∴∠OAP＝. 4． (2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当α⊥β时，由于α∩β＝m，bβ，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α. 又∵aα，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件． 而当aα且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a. 而此时平面α与平面β不一定垂直， ∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A. 5． (2013·浙江)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则(　　) A．平面α与平面β垂直 B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45° C．平面α与平面β平行 D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案　A