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薛惠钰：计算变剖面梁稳态动响应的一种高精度算法 399 计算变剖面梁稳态动响应的一种高精度算法 薛惠钰 苏州大学理学院物理系，苏州 215006 摘 要 对阶梯形变剖面梁稳态动响应的计算方法进行了研究。针对目前普遍使用有限元模型 采用振型迭加法计算稳态强迫振动存在的不能有效地计算动态应力的缺点，该文提出了计算 简谐力作用下阶梯形变剖面梁稳态强迫振动的精确传递矩阵法，该方法直接从梁的强迫振动 微分方程出发，导出了考虑阻尼效应以及剪切刚度、质量转动惯量影响的复状态向量的传递 矩阵,为了避免传递矩阵连续相乘所产生的误差传递， 本文对状态向量采用 Riccati 变换。算例 表明该方法无论是对强迫振动的动位移还是动弯矩都具有较好的计算精确度。 关键词 精确传递矩阵；里卡提变换；强迫振动；梁结构 中图分类号 O332 1 引言 变剖面梁是工程上进行等强度设计常用的一种结构。其稳态强迫振动的计算方法通常是 对其逐段等剖面梁有限元模型采用振型迭加法，即把强迫振动的振型展开成各主振型的级数 和。用此法计算得到结构的固有动态特性和位移响应还能满足工程所要求的精度，然而，用 之于结构动态应力的计算，其精度较低，其原因是梁单元有限元模型中的位移模式一般是采 用单元局部坐标的三次多项式，而梁单元的广义应力，即弯矩是与形函数的二阶导数成正比 的，它是单元局部坐标的线性函数。由于梁振动时的实际形函数是一个超越函数，其二阶导 数仍然是超越函数。显然，一个三次函数，能较好地逼近一个超越函数，而一个线性函数却 不能逼近一个超越函数，这就是用一般有限元法计算结构强迫振动动态应力误差较大的原 因。为了提高动应力的计算精确度，本文对等剖面梁单元不采用三次多项式假定位移模式的 有限元方法，而是直接从振动微分方程出发，推导出梁单元状态向量的精确传递矩阵，为了 避免传递矩阵多次连续相乘导致的数值不稳定现象，采用了 Riccati 变换。本文研究了精确里 卡提传递矩阵法对变剖面梁稳态强迫振动计算的应用，并通过数值算例讨论了它的计算精确 度。 2 变剖面梁稳态强迫振动微分方程 400 薛惠钰：计算变剖面梁稳态动响应的一种高精度算法 如图 1 所示，考虑粘性阻尼、剪切刚度、转动惯性影响的铁木辛柯梁微段在频率为ω的 简谐激励力作用下，其强迫振动的微分方程组为[1] 图 1 梁微段振动时的受力 ∂ ( , ) ( , )  Y x t Q x t θ( , ) =+  x t ∂ ( )  x GS x  θ ∂ ( , ) ( , ) x t M x t  =−