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有限区间内的正态分布 云南省曲靖农业学校 刘弘 如果随机变量ξ的分布函数为，则称ξ服从于正态分布，其中的取值区间为。由于许多随机变量是在有限区间内取值的，尽管他们的分布具有中间密、两侧疏和左右对称的特点，用作为他们的分布密度函数，在不同程度上都会失去其精确性，为此有必要寻求有限区间内的正态分布密度函数。本文论述有限区间内的正态分布密度函数，并论述他与无限区间内的正态分布密度函数的一致性，以及这种分布的概率计算问题。 有限正态分布密度函数 如果随机变量的取值区间为，并且他的分布密度函数为 （1） K=0，1，2，3，… 则称ξ服从于有限正态分布,在不失一般性的情况下,设μ=0,得到有限区间内的正态分布密度函数： （2） 显然具有如下基本性质： 性质1 的图象关于直线x=0对称； 性质2 x在区间 性质3 。 性质4 今对性质4证明如下： 引理 对于任何 (k=1,2,3,···),递推公式 (3) 都成立。 事实上，按照分部积分法有 由此 移项整理后得 。 所以（3）式成立。下面证明性质4： 。 则K=n时，按照递推公式（3），得到 根据数学归纳法原理，对于任何K（K=0，1，2… ）都有 。 由于具有以上四个基本性质，他可以作为有限正态分布的分布密度函数，他的函数图形如下： 上面我们作出了时的有限正态分布密度函数的图形，分别称为零阶有限正态分布、一阶有限正态分布、二阶有限正态分布、……，可以看出，零阶有限正态分布就是均匀分布。 二、有限正态分布与无限正态分布的一致性 为了分析有限正态分布与无限阶正态分布的一致性，我们先计算有限阶正态分布的方差，根据方差的定义，当数学期望时，有限正态随机变量的方差为 即 （4） 再设有限区间内的正态分布和无限区间内的正态分布有相同的方差，即 （5） 将（5）式代入（2）式得 不难证明 (6) 事实上，在区间内 由（5）式可知，当根据斯特林公式 可以得到 。 由（6）式可知，的关系实质上是正态分布随机变量在有限区间和无限区间内取值的两种具体分布密度函数，对于分布在有限区间内的正态分布随机变量，用作为它分布密度函数，更加精确地反映其分布特征。 三、有限正态分布的应用 前面的论述中，我们假定有限正态随机变量数学期望为0，在一般情况下，根据坐标平移公式，的分布密度函数如式（1）所示，即 显然，的方差仍然是 我们称以式（1）为分布密度函数的随机变量服从于K阶有限正态分布，记作。 其中：为的数学期望；K为分布密度函数的阶数；取值区间长度之半。 特别，当 相应的方差为 如果为它的分布密度函数，则称服从于标准有限正态分布，记作。 根据随机变量分布函数的定义，若，则它的分布函数为： 如果 ，则它的分布函数为： 不难证明： 由（10）可知，一般有限正态分布的分布函数值，可用标准有限正态分布的分布函数值求得。应用递推公式（3），可计算出各阶标准有限正态分布的分布函数表。 四、计算实例 对某种棉花纤维长度进行测定，纤维长平均值为29.83mm，统计均方差为1.045mm，最长和最短的纤维长分别为32.8mm和26.8mm，试求：纤维长度超过28mm的概率。 解：设棉花纤维长度为随机变量，且。 已知，初定 将 得 所以 纤维长超过28mm的概率为： 由于无表可查，可由递推公式（3）求出之值即。即 由此 棉花纤维长超过28mm的概率为0.962。