2014新课标人教B版高中数学（选修1-1）单元测试-第三章.docVIP

选修1-2 2章末总结 1．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为(　　) A．[－1，－]　　　　　B．[－1,0] C．[0,1] D．[，1] [答案]　A [解析]　设点P横坐标为x0，由导数的定义，知y′＝2x＋2，则由题意，知kp＝2x0＋2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，∴0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－.故选A. 2．(2009·广东)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则(　　) A．a－3 B．a－3 C．a－ D．a－ [答案]　B [解析]　y′＝aeax＋3，令y′＝0得x＝，即为极值点．由题意得0，所以a－3，故选B. 3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8在区间(－5,5)上是减函数，则a的取值范围为________． [答案]　(－∞，－75] [解析]　f′(x)＝3x2＋a，由f(x)在(－5,5)上是减函数，由x∈(－5,5)时，f′(x)＝3x2＋a≤0恒成立， 即a≤－3x2，对x∈(－5,5)恒成立，当x∈(－5,5)时，－3x2－75，∴a≤－75. 4．设直线y＝ x＋b是曲线y＝lnx的一条切线，则实数b＝____. [答案]　ln2－1 [解析]　设切点为(x0，y0)，由题意，得(lnx0)′＝＝，所以x0＝2，y0＝ln2，代入直线方程y＝x＋b，得b＝ln2－1. 5．(2009·江苏)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________． [答案]　(－1,11) [解析]　f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)0得单调递减区间为(－1,11)． 6．设函数f(x)＝(x0且x≠1)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)已知2xa对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)f′(x)＝－，令f′(x)＝0，则x＝；令f′(x)0，则0x；令f′(x)0，则x1或x1.故函数f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，1)和(1，＋∞)． (2)在2xa的两边取自然对数，ln2alnx. 由于0x1，所以① 由(1)的结果可知， 当x∈(0,1)时，f(x)≤f()＝－e. 所以a的取值范围为a－eln2. 7．(2009·北京)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间和与极值点． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－3a. 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切， 所以即 解得a＝4，b＝24. (2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点． 当a0时，由f′(x)＝0得x＝±. 当x∈(－∞，－)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增； 当x∈(－，)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增． 此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点． 8．(2009·山东)函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点． (1)求a和b的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)设g(x)＝x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小． [解析]　(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)． 又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，所以f′(－2)＝f′(1)＝0. 因此解方程组得a＝－，b＝－1. (2)因为a＝－，b＝－1， 所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1. 因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)0； 当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)0， 所以f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减． (3)由(1)知，f(x)＝x2ex－1－x3－x2，故f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)．令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1，令h′(x)＝0得x＝1.因为x∈(－∞，1]时，h′(x)≤0，所以h(x)在(－∞，1]上单调递减，故x∈(－∞，1]时，h(x)≥h(1)＝0；因为x∈[1，＋∞)时，h′(x)≥0，所以h(x)在x∈[1，＋∞)时单调递增，故x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0