2014人教B版选修(2-1)第三章《空间向量与立体几何》word单元练习.docVIP

3章末 一、选择题 1．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) A．相交　　　　　　　B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 [答案]　B [解析]　∵·＝0，·＝0， ∴⊥平面ABCD. 2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角为(　　) A．60°　　　B．90°　　　C．105°　　　D．75° [答案]　B [解析]　如图，建立空间直角坐标系O－xyz，设高为h，则AB＝h，可得 A，B， B1，C1，这样＝(0，h，－h)， ＝，由空间向量的夹角公式即可得到结果． 3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在BB1棱上，且BD＝1.若AD与平面AA1C1C所成角为α，则α等于(　　) A. B. C．arcsin D．arcsin [答案]　D [解析]　建立如图所示的直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，D(0，，1)∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量为＝(0，，0)，又 ＝(－，，1) ∴·＝，||＝，||＝， 由向量夹角公式知cos〈，〉＝＝， ∵α＝－〈，〉， ∵sinα＝sin(－〈，〉)＝cos〈，〉＝. ∴α＝arcsin. 4．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为60°，且AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M、N分别为BB1、B1C1的中点，则MN与AC所成角的余弦值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [答案]　B [解析]　如图，本题考查异面直线所成的角．易知∠D1AC即为所求，即为向量与所成的角． 设＝a，＝b，＝c， 则由条件知|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3， b·c＝2×1×＝1，a·c＝2×3×＝3，b·c＝1×3×＝. ∵＝b＋c，＝a＋b， ∴||2＝12＋32＋2·＝13， ||2＝22＋12＋2·1＝7. ∴·＝， ∴cos〈，〉＝.故选B. 二、解答题 5．如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点． (1)证明：面PAD⊥面PCD； (2)求AC与PB所成角的余弦值； (3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值． [解析]　因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB， 以A为坐标原点，AD长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M. (1)证明：∵＝(0,0,1)，＝(0,1,0)，故·＝0，∴AP⊥DC. 又由题设知：AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. (2)解：∵＝(1,1,0)，＝(0,2，－1)， ∴||＝，＝，·＝2， ∴cos〈，〉＝＝. 由此得AC与PB所成角的余弦值为. (3)解：在MC上取一点N(x，y，z)，则存在λ∈R，使＝λ， ＝(1－x,1－y，－z)，＝， ∴x＝1－λ，y＝1，z＝λ. 要使AN⊥MC，只需·＝0，即x－z＝0， 解得λ＝. 可知当λ＝时，N点坐标为， 能使·＝0. 此时，＝，＝， 有·＝0. 由·＝0，·＝0，得AN⊥MC，BN⊥MC. ∴∠ANB为所求二面角的平面角． ∵||＝，||＝.·＝－. ∴cos〈，〉＝＝－. 故所求的二面角的余弦值为－. 6．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求证： (1)AD1∥平面BDC1； (2)A1C⊥平面BDC1. [证明]以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz. 设正方体的棱长为1，则有D＝(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， ＝(－1,0,1)，＝(－1,1，－1)． 设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量， 则n⊥，n⊥. 所以，所以. 令x＝1，则n＝(1，－1,1)． (1)n·＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n⊥. 又AD1平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1. (2)因为n＝(1，－1,1)，＝(－1,1，－1)， 知＝－n，即n∥，所以A1C⊥平面BDC1. 中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！ 中小学教育资源站